Запись и сравнение натуральных чисел

Числа, которые используют при подсчёте предметов, называют натуральными числами: один, два, три, …, сто, …, тысяча, …, миллион, …

Натуральные числа, записанные в порядке возрастания и без пропусков, образуют натуральный ряд: $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$

В натуральном ряду есть первое число $1$, но нет последнего: за каждым числом следует ещё одно, большее на единицу. Поэтому ряд записывают несколькими первыми числами и ставят многоточие.

Отсутствие предметов обозначают числом нуль ($0$). Нуль не считают натуральным числом.

Числа записывают при помощи десяти знаков — цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Одна и та же цифра имеет разное значение в зависимости от места (позиции) в записи. В числе $777$ первая справа семёрка — семь единиц, вторая — семь десятков, третья — семь сотен. Поэтому десятичную систему называют позиционной.

Десять единиц — десяток, десять десятков — сотня, десять сотен — тысяча и т. д. Каждые $10$ единиц любого разряда составляют одну единицу следующего, более высокого разряда.

Первая цифра справа — цифра первого разряда (единицы), вторая — второго (десятки) и т. д. Первую цифру слева называют цифрой высшего разряда; она всегда отлична от нуля.

Числа, записанные одной цифрой, — однозначные, несколькими — многозначные: двузначные, трёхзначные, …

Чтобы прочитать многозначное число, его цифры разбивают справа налево на группы по три — классы: класс единиц, тысяч, миллионов, миллиардов. В каждом классе — единицы, десятки и сотни этого класса.

Каждое натуральное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых: число $3278$ состоит из $3$ тысяч, $2$ сотен, $7$ десятков и $8$ единиц.

Нули в записи означают, что единиц этого разряда нет; такие слагаемые можно не писать:

$5031 = 5 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1 = 5 \cdot 1000 + 3 \cdot 10 + 1$; $\quad 3700 = 3 \cdot 1000 + 7 \cdot 100$.

1. Расставим цифры по разрядам, начиная со старшего: тысячи — $7$, сотни — $0$, десятки — $0$, единицы — $8$.
2. $7 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 8 = 7008$. Нули на месте сотен и десятков обязательно пишут — иначе получится $78$.

1. Миллион — $1\,000\,000$, тысяча — $1000$. В записи миллиона три класса: единицы миллионов, тысячи, единицы.
2. $1\,000\,000 : 1000 = 1000$ — отбрасываем три нуля класса единиц.

Из двух натуральных чисел больше то, которое в натуральном ряду стоит правее (дальше от начала): $8$ больше $5$.

По десятичной записи сравнивают так:

• 1) Больше то число, у которого разрядов больше: $1001 > 999$.
• 2) Если разрядов поровну, больше то, у которого больше первая слева из неодинаковых цифр: $2821 > 2819$ — тысячи и сотни совпали, а десятков у первого больше ($2 > 1$).
• 3) Числа равны, если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны.

Если $a$ больше $b$, пишут $a > b$ («$a$ больше $b$») или $b < a$ («$b$ меньше $a$»). Равенство $a = b$ означает, что $a$ и $b$ — одно и то же число.

Если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$: $c$ стоит в ряду правее $b$, а $b$ — правее $a$. Пишут двойное неравенство $a < b < c$.

Каждое натуральное число больше нуля: $a > 0$. Число, большее нуля, называют положительным. Нуль — целое, но не положительное число.

Натуральные числа и нуль вместе — целые неотрицательные числа: $0, 1, 2, 3, \ldots$

1. Сравнивать можно только величины в одинаковых единицах. $1$ м $= 100$ см.
2. а) $1$ м $= 100$ см, $120 > 100$ — больше $120$ см.
3. б) $5$ м $25$ см $= 500 + 25 = 525$ см; $525 < 526$ — больше $526$ см.

1. Чётное число оканчивается чётной цифрой. Из $8, 5, 3$ чётная только $8$ — она стоит на месте единиц.
2. Остаются цифры $5$ и $3$ для сотен и десятков: числа $538$ и $358$.
3. Разрядов поровну, сравниваем сотни: $5 > 3$, значит, $538 > 358$.

1. Выпишем цифры по порядку: $6, 4, 0, 0, 4, 6$.
2. Без повторов остаются $0$, $4$ и $6$ — три различные цифры.

• Натуральные числа — $1, 2, 3, \ldots$; первое есть, последнего нет; $0$ — не натуральное.
• Запись позиционная: значение цифры зависит от разряда; цифры читают классами по три справа налево.
• Число — сумма разрядных слагаемых: $3278 = 3 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 8$.
• Больше то, у кого больше разрядов; при равном числе разрядов — у кого больше первая неодинаковая цифра.