Числовые выражения и порядок действий

Число $4$ можно записать как $3 + 1$, $\ 9 - 5$, $\ 2 \cdot 2$, $\ 12 : 3$, $\ 2^2$, $\ 3 \cdot (12 - 11) + 1$ и ещё многими способами.

Запись, в которой используются только числа, знаки арифметических действий и скобки, называют числовым выражением.

Упростить выражение — постепенно выполнить действия и получить число, значение выражения. Для этого мало уметь выполнять действия: нужно знать их порядок.

• 1) Если есть только сложение и вычитание (или только умножение и деление), действия выполняют по порядку слева направо: $8 - 3 + 5 + 10$, $\ 7 \cdot 8 : 2 : 4 \cdot 5$.
• 2) Если есть скобки, сначала выполняют действия в скобках, потом — за скобками.
• 3) Если есть разные действия, сначала умножение и деление (слева направо), затем сложение и вычитание (слева направо).
• 4) Если есть степень, сначала записывают её числом, а потом выполняют остальные действия.

Скобки вокруг одного умножения или деления принято опускать, но подразумевать: вместо $5 + (32 \cdot 8)$ пишут $5 + 32 \cdot 8$.

$2 + 3 \cdot 5 = 2 + 15 = 17$ (не $25$!); $\quad 12 - 8 : 2 = 12 - 4 = 8$.

Менять принятый порядок можно, только если это позволяют законы сложения и умножения: $48 \cdot 26 + 52 \cdot 26 = 26 \cdot (48 + 52) = 2600$.

Последнее по порядку действие определяет название выражения: $48 : 6 + 2$ — сумма (последнее действие — сложение), $48 : (6 + 2)$ — частное.

$3 \cdot 7 - 6 \cdot 3$ — разность произведений; $(3 + 5)^2$ — квадрат суммы; $3^2 + 5^2$ — сумма квадратов.

Выражения, в которых встречается деление на нуль, не имеют смысла: $3 : (4 \cdot 5 - 20)$ не имеет смысла, так как $4 \cdot 5 - 20 = 0$.

1. а) Сначала умножение: $56$, затем $56 + 4 = 60$.
2. б) Сначала скобки: $6$, затем $28 \cdot 6 = 168$.
3. в) $100 : 4 = 25$, $\ 25 + 6 = 31$.
4. г) $4 + 6 = 10$, $\ 100 : 10 = 10$. Одни и те же числа, но разный порядок — разные ответы.

1. Скобок и степеней нет. Сначала умножение и деление слева направо: $\ 1)\ 20 \cdot 37 = 740$; $\ 2)\ 5621 : 11 = 511$.
2. Затем сложение и вычитание слева направо: $\ 3)\ 162 + 740 = 902$; $\ 4)\ 902 - 511 = 391$.

1. Скобки: $81 - 63 = 18$.
2. Умножение и деление слева направо: $4800 : 24 = 200$; $\ 4 \cdot 18 = 72$; $\ 72 : 2 = 36$.
3. Сложение: $200 + 36 = 236$.

1. В скобках сначала деление: $45 : 5 = 9$, затем $45 - 9 = 36$.
2. За скобками сначала деление: $756 : 36 = 21$.
3. Сложение и вычитание слева направо: $848 + 6 = 854$, $\ 854 - 21 = 833$.

1. Через $3$ года брату будет $5 + 3$ лет.
2. Сестре сейчас в $2$ раза больше: $(5 + 3) \cdot 2$.
3. $(5 + 3) \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$. Скобки нужны: без них $5 + 3 \cdot 2 = 11$ — другой ответ.

• Порядок: степени → действия в скобках → умножение и деление → сложение и вычитание; действия одной ступени — слева направо.
• Скобки вокруг одного умножения или деления не пишут, но подразумевают.
• Последнее действие даёт название выражению.
• Выражение с делением на нуль смысла не имеет.