Умножение и деление. Распределительный закон

Переместительный закон: от перестановки множителей произведение не меняется. Квадраты на рисунке можно сосчитать по рядам ($3 \cdot 4$) или по столбцам ($4 \cdot 3$) — их одно и то же число.

Сочетательный закон: чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. Кубики, сложенные в $2$ слоя по $3 \cdot 4$, считают как $2 \cdot (3 \cdot 4)$ или $(2 \cdot 3) \cdot 4$.

Для любого $a$: $\ a \cdot 0 = 0$, $\ 0 \cdot a = 0$. Поэтому законы верны для всех неотрицательных чисел.

1. Полезно помнить: $2 \cdot 5 = 10$, $\ 4 \cdot 25 = 100$, $\ 8 \cdot 125 = 1000$.
2. а) $(5 \cdot 48) \cdot 2 = 48 \cdot (5 \cdot 2) = 48 \cdot 10 = 480$.
3. б) $16 \cdot (25 \cdot 4) = 16 \cdot 100 = 1600$.
4. в) $(125 \cdot 8) \cdot 7 = 1000 \cdot 7 = 7000$.

Переход от $a \cdot (b + c)$ к $a \cdot b + a \cdot c$ называют раскрытием скобок.

Обратный переход — от $a \cdot b + a \cdot c$ к $a \cdot (b + c)$ — вынесение общего множителя за скобки. Он часто упрощает вычисления:

$37 \cdot 31 + 37 \cdot 69 = 37 \cdot (31 + 69) = 37 \cdot 100 = 3700$.

По переместительному закону также $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Натуральное $a$ делится нацело на натуральное $b$, если существует натуральное $c$, при умножении которого на $b$ получается $a$. Пишут $a : b = c$; $a$ — делимое, $b$ — делитель, $c$ — частное.

Любое число делится на $1$ и на себя: $a : 1 = a$, $\ a : a = 1$. При делении нуля на натуральное число получается нуль: $0 : a = 0$, так как $0 \cdot a = 0$.

Делимое и делитель можно умножить или разделить на одно и то же натуральное число — частное не изменится: $48 : 24 = 96 : 48 = 24 : 12 = 2$.

Пусть $a \ne 0$ и $a : 0 = c$. Тогда должно быть $c \cdot 0 = a$. Но $c \cdot 0 = 0$ для любого $c$, а $a \ne 0$ — такого числа $c$ не существует.

Нуль на нуль тоже делить нельзя: равенство $c \cdot 0 = 0$ верно для любого $c$, и частное было бы каким угодно числом.

Неизвестные компоненты находят так: множитель = произведение : другой множитель; делимое = частное $\cdot$ делитель; делитель = делимое : частное.

1. $x$ — неизвестное делимое. Делимое равно частному, умноженному на делитель: $x = 35 \cdot 28$.
2. $35 \cdot 28 = 35 \cdot 20 + 35 \cdot 8 = 700 + 280 = 980$.
3. Проверка: $980 : 28 = 35$ ✓.

1. Частное: $72 : 9 = 8$.
2. Разность: $72 - 9 = 63$.
3. Сумма частного и разности: $8 + 63 = 71$.

• $a \cdot b = b \cdot a$, $\ (ab)c = a(bc)$, $\ 1 \cdot a = a$, $\ a \cdot 0 = 0$.
• $a(b + c) = ab + ac$, $\ a(b - c) = ab - ac$ — раскрытие скобок и вынесение общего множителя.
• $a : b = c$, если $a = b \cdot c$; частное не меняется, если делимое и делитель умножить или разделить на одно число.
• На нуль делить нельзя.