Сложение и вычитание. Законы сложения

Чтобы сложить $5$ и $3$, отметим в натуральном ряду число $5$ и отсчитаем от него вправо $3$ числа. Получится $8$ — сумма чисел $5$ и $3$: $\ 8 = 5 + 3$.

Числа $5$ и $3$ называют слагаемыми.

Переместительный закон: от перестановки слагаемых сумма не меняется. Отсчитаем от $3$ вправо $5$ чисел — снова $8$: $\ 3 + 5 = 5 + 3$.

Сочетательный закон: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому прибавить сумму второго и третьего. Проверка: $(3 + 2) + 4 = 9$ и $3 + (2 + 4) = 9$.

Поэтому сумму нескольких слагаемых пишут без скобок: $3 + 2 + 4$. Кроме того, $a + 0 = a$ и $0 + a = a$.

1. а) Сначала сложим числа, дающие «круглую» сумму: $(23 + 17) + 118 = 40 + 118 = 158$.
2. б) Представим $75 = 74 + 1$: $\ (74 + 1) + 109 = 74 + (1 + 109) = 74 + 110 = 184$.
3. в) Представим $28 = 3 + 25$: $\ 97 + (3 + 25) = (97 + 3) + 25 = 100 + 25 = 125$.

Разностью чисел $a$ и $b$ называют такое число, которое при сложении с $b$ даёт $a$. Число $a$ — уменьшаемое, $b$ — вычитаемое.

Найдём $9 - 6$: отметим $9$ и отсчитаем влево шесть чисел — получим $3$. Действительно, $3 + 6 = 9$, поэтому $9 - 6 = 3$.

Для любого $a$: $\ a - 0 = a$ (так как $a + 0 = a$) и $a - a = 0$ (так как $0 + a = a$).

Пока мы знаем только неотрицательные числа, разность $a - b$ можно найти лишь при $a \ge b$. Позже появятся отрицательные числа.

Все три правила следуют из определения разности: проверяйте ответ подстановкой.

• Неизвестное слагаемое = сумма − известное слагаемое: $\ 43 + x = 64 \Rightarrow x = 64 - 43 = 21$.
• Неизвестное уменьшаемое = разность + вычитаемое: $\ x - 53 = 35 \Rightarrow x = 35 + 53 = 88$.
• Неизвестное вычитаемое = уменьшаемое − разность: $\ 34 - x = 26 \Rightarrow x = 34 - 26 = 8$.

1. Сначала найдём правую часть: $276 + 183 = 459$. Получили $325 + \square = 459$.
2. Неизвестное слагаемое: $459 - 325 = 134$.
3. Проверка: $325 + 134 = 459$ ✓.

Если к уменьшаемому и вычитаемому прибавить одно и то же число, разность не изменится: если $a - b = c$, то $(a + n) - (b + n) = c$.

Этим удобно пользоваться, когда вычитаемое близко к «круглому» числу:

$302 - 99 = (302 + 1) - (99 + 1) = 303 - 100 = 203$; $\quad 200 - 97 = 203 - 100 = 103$.

• $a + b = b + a$, $\ (a + b) + c = a + (b + c)$, $\ a + 0 = a$.
• $a - b$ — число, которое в сумме с $b$ даёт $a$; $\ a - 0 = a$, $\ a - a = 0$.
• Слагаемое = сумма − слагаемое; уменьшаемое = разность + вычитаемое; вычитаемое = уменьшаемое − разность.
• Столбиком — по разрядам с единиц; переполнение разряда переносим, недостаток — занимаем.