Деление с остатком

$14$ не делится нацело на $3$: умножая натуральные числа на $3$, получаем $3, 6, 9, 12, 15, \ldots$ — числа $14$ среди них нет.

Но есть наибольшее из них, не превосходящее $14$: $12 = 4 \cdot 3$. До $14$ не хватает $2$, и $2 < 3$. Итак, $14 = 4 \cdot 3 + 2$.

Число $4$ называют неполным частным, а $2$ — остатком. Пишут: $14 : 3 = 4$ (остаток $2$).

$a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, $r$ — остаток. Пример: $38 = 7 \cdot 5 + 3$, $3 < 5$: $\ 38 : 5 = 7$ (ост. $3$).

Если $a$ делится нацело, удобно считать, что остаток равен нулю.

Отсюда: делимое = делитель $\cdot$ неполное частное + остаток.

1. Ищем наибольшее число, кратное $6$, не больше $71$: $6 \cdot 11 = 66$ ($6 \cdot 12 = 72$ — уже больше).
2. $71 - 66 = 5$, и $5 < 6$. Значит, $71 = 6 \cdot 11 + 5$.

1. Делимое = делитель $\cdot$ неполное частное + остаток.
2. $9 \cdot 5 + 5 = 45 + 5 = 50$. Проверка: $50 : 9 = 5$ (ост. $5$), и $5 < 9$ ✓.

1. На этаже $68 : 17 = 4$ квартиры. Этажи заполняются по $4$: квартиры $1$–$4$ на первом, $5$–$8$ на втором и т. д.
2. $63 : 4 = 15$ (ост. $3$): $15$ этажей заняты полностью ($60$ квартир), а квартира $63$ — третья на следующем этаже.
3. $15 + 1 = 16$.

1. Числа между $70$ и $85$, делящиеся на $6$: $72 = 6 \cdot 12$, $\ 78 = 6 \cdot 13$, $\ 84 = 6 \cdot 14$.
2. Частные $12$, $13$, $14$; нечётное только $13$.

• $a = b \cdot q + r$, где $0 \le r < b$: $q$ — неполное частное, $r$ — остаток.
• Делимое = делитель $\cdot$ неполное частное + остаток — так проверяют деление.
• Уголком делят по разрядам; если очередное число меньше делителя, в частное пишут $0$.
• По остаткам от деления на $b$ все числа делятся на $b$ классов.