Степень с натуральным показателем

Сумму одинаковых слагаемых записывают короче произведением: $5 + 5 + 5 + 5 = 5 \cdot 4$. Произведение одинаковых множителей тоже записывают короче: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$ и называют степенью. Читают: «пять в степени четыре».

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ ($n > 1$) называют произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

В записи $2^3$ число $2$ — основание степени, число $3$ — показатель степени: он показывает, сколько раз основание берут множителем. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

1. а) $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ — четыре множителя: $2 \cdot 2 = 4$, $\ 4 \cdot 2 = 8$, $\ 8 \cdot 2 = 16$.
2. б) $3^7 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$: $\ 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187$.

Степень с показателем $1$ не подходит под определение (один множитель — не произведение). Принято считать, что первая степень любого числа равна самому числу: $a^1 = a$; $\ 2^1 = 2$, $\ 100^1 = 100$.

Вторую степень называют квадратом числа: $5^2$ — «пять в квадрате». Третью — кубом: $5^3$ — «пять в кубе». Названия пришли из геометрии: площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$, объём куба с ребром $a$ — $a^3$.

$10 = 10^1$, $\ 100 = 10^2$, $\ 1000 = 10^3$, $\ 10\,000 = 10^4$, …, миллион $= 10^6$, миллиард $= 10^9$, триллион $= 10^{12}$.

Показатель степени десяти равен числу нулей в записи числа.

Большие числа удобно записывать со степенью десяти: скорость света $300\,000\,000$ м/с $= 3 \cdot 10^8$ м/с.

1. $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$; $\quad 125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.
2. $64 = 8 \cdot 8 = 8^2$, или $4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$, или $2^6$ — одно число можно записать степенью по-разному.
3. $243 = 3 \cdot 81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5$.

$6^2 - 5^2 + 10 : 5 = 36 - 25 + 2 = 13$.

Различайте: квадрат суммы $(5 + 2)^2 = 7^2 = 49$ и сумма квадратов $5^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29$; квадрат разности $(9 - 8)^2 = 1$ и разность квадратов $9^2 - 8^2 = 81 - 64 = 17$.

Основание без скобок возводится в степень только само: $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$, а $(2 \cdot 3)^2 = 36$.

1. а) В скобках $7$, $\ 7^2 = 49$.
2. б) $25 + 4 = 29$ — не то же, что в пункте а).
3. в) $81 - 64 = 17$.
4. г) $714 : 7 = 102$, $\ 102 - 100 = 2$, $\ 2^4 = 16$.

1. Переберём пары: $1^2 = 1$, $2^1 = 2$ — не равны; $2^3 = 8$, $3^2 = 9$ — не равны.
2. $2^4 = 16$ и $4^2 = 16$ — равны!
3. Остальные пары ($3$ и $4$: $81 \ne 64$; $2$ и $5$: $32 \ne 25$ и т. д.) не подходят.

• $a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ ($n$ множителей); $a$ — основание, $n$ — показатель.
• $a^1 = a$; $a^2$ — квадрат, $a^3$ — куб.
• $10^n$ — единица и $n$ нулей.
• Степень вычисляют раньше умножения и сложения; $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$.