Рациональное уравнение. Биквадратные уравнения

Уравнение, левая и правая части которого — рациональные выражения относительно $x$, называют рациональным уравнением с неизвестным $x$. Рациональное выражение — это то, что получается из чисел и $x$ сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением в натуральную степень.

Например, рациональные уравнения:

Выражение, являющееся слагаемым левой или правой части, называют членом уравнения.

В уравнении $\dfrac{5x^2}{x^2 + 1} + x - 2 = \dfrac{x - 3}{x^4 - 1}$ членами являются выражения $\dfrac{5x^2}{x^2 + 1}$, $\ x$, $\ -2$ и $\dfrac{x - 3}{x^4 - 1}$.

Член можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком — получится уравнение с теми же корнями.

При решении рациональных уравнений обе части умножают или делят на не равное нулю число, переносят члены с противоположным знаком, складывают и вычитают дроби — и каждый раз получают уравнение, равносильное предыдущему.

Отступление от этих правил опасно: можно потерять корень или приобрести посторонний. Уравнения $\dfrac{x^2 + x}{x - 1} = 0$ и $\dfrac{x + 1}{x - 1} = 0$ не равносильны: у первого корни $0$ и $-1$, у второго только $-1$ — числитель «сократили» на $x$ и потеряли корень $0$.

• Корень уравнения — число, при подстановке которого вместо $x$ получается верное числовое равенство.
• Решить уравнение — найти все его корни или показать, что их нет.
• Равносильные уравнения имеют одни и те же корни (или оба не имеют корней). $\ x + 2 = 3$ и $x + 5 = 6$ равносильны: у обоих единственный корень $1$.

Уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a$, $b$, $c$ — данные числа и $a \ne 0$, называют биквадратным уравнением с неизвестным $x$.

В нём есть только чётные степени $x$: $x^4 = \left(x^2\right)^2$. Поэтому делают замену неизвестного $y = x^2$, и уравнение превращается в квадратное:

1. Замена $y = x^2$: $\ y^2 - 4y + 3 = 0$.
2. $\dfrac D4 = \left(\dfrac p2\right)^2 - q = 4 - 3 > 0$, корни $y_{1,2} = 2 \pm 1$: $\ y_1 = 1$, $y_2 = 3$.
3. Возвращаемся к $x$: $x^2 = 1$ даёт $x = \pm 1$; $\ x^2 = 3$ даёт $x = \pm\sqrt3$.
4. Других корней нет: любой корень исходного уравнения даёт корень квадратного.

График $y = x^4 - 4x^2 + 3$ симметричен относительно оси $y$: в нём только чётные степени. Поэтому корни биквадратного уравнения всегда парами — $x$ и $-x$.

1. Замена $y = x^2$: $\ y^2 - 2y - 2 = 0$, $\ \left(\dfrac p2\right)^2 - q = 1 + 2 = 3 > 0$.
2. $y_1 = 1 + \sqrt3$, $\ y_2 = 1 - \sqrt3$.
3. $x^2 = 1 + \sqrt3$ даёт $x = \pm\sqrt{1 + \sqrt3}$.
4. $x^2 = 1 - \sqrt3$ корней не имеет: $\sqrt3 > 1$, поэтому $1 - \sqrt3 < 0$.

1. а) $y = x^2$: $\ 2y^2 - 3y + 5 = 0$, $\ D = 9 - 40 = -31 < 0$. Квадратное уравнение корней не имеет — значит, и биквадратное тоже.
2. б) $y = x^2$: $\ 9y^2 - 6y + 1 = 0$, $\ D = 36 - 36 = 0$, единственный корень $y_0 = \dfrac{6}{18} = \dfrac13$.
3. $x^2 = \dfrac13$ даёт $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt3} = \pm\dfrac{\sqrt3}{3}$.

1. $y = x^2$: $\ y^2 + 10y + 25 = 0$, то есть $(y + 5)^2 = 0$, $\ y_0 = -5$.
2. $x^2 = -5$ корней не имеет. Значит, и исходное уравнение корней не имеет.
3. Это видно и сразу: $x^4 \ge 0$, $10x^2 \ge 0$, поэтому левая часть не меньше $25$.

В ОГЭ №20 часто встречается не $x^4$, а четвёртая степень скобки: $(x - 4)^4 - 4(x - 4)^2 - 21 = 0$.

Приём тот же: в уравнении есть только $(x - 4)^4 = \left((x - 4)^2\right)^2$ и $(x - 4)^2$. Замена $y = (x - 4)^2$ даёт квадратное уравнение. Помним, что $y \ge 0$: отрицательные $y$ отбрасываем.

1. Замена $y = (x - 4)^2$, $\ y \ge 0$: $\ y^2 - 4y - 21 = 0$.
2. По теореме Виета $y_1 = 7$, $y_2 = -3$. Корень $-3$ не подходит: квадрат не бывает отрицательным.
3. $(x - 4)^2 = 7$, то есть $x - 4 = \pm\sqrt7$, откуда $x = 4 \pm \sqrt7$.

1. Замена $y = (x + 1)^2 \ge 0$: $\ y^2 + y - 6 = 0$, корни $y = 2$ и $y = -3$.
2. $y = -3$ отбрасываем. $(x + 1)^2 = 2$, $\ x + 1 = \pm\sqrt2$.

1. а) $t = x^2$: $\ t^2 - 20t + 64 = 0$, $\ t = 4$ или $t = 16$. Отсюда $x = \pm2$ и $x = \pm4$.
2. б) Переносим $400$ влево и делаем замену $t = y^2$: $\ t^2 + 9t - 400 = 0$, $\ D = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$, $\ t = \dfrac{-9 \pm 41}{2}$: $\ t = 16$ или $t = -25$.
3. $y^2 = 16$ даёт $y = \pm4$; $\ y^2 = -25$ корней нет.

• Рациональное уравнение — обе части рациональные выражения; решить — найти все корни или доказать, что их нет.
• Перенос членов, умножение на не равное нулю число, сложение дробей дают равносильное уравнение; «сокращение» на выражение с $x$ может потерять корень.
• $ax^4 + bx^2 + c = 0$: замена $y = x^2$, квадратное уравнение, затем $x^2 = y$ для каждого $y \ge 0$.
• $(x - a)^4$ и $(x - a)^2$ — та же замена $y = (x - a)^2$; отрицательные $y$ отбрасываем.