Дробь равна нулю. Решение рациональных уравнений

Если $x_0$ — корень уравнения $\dfrac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - x - 3} = 0$, то $\dfrac{x_0^2 + 4x_0 - 21}{x_0^2 - x_0 - 3}$ — числовое выражение, равное нулю.

Такое выражение имеет смысл, только если знаменатель не равен нулю. А дробь с ненулевым знаменателем равна нулю, только когда числитель равен нулю.

1. Числитель: $x^2 + 4x - 21 = 0$, по теореме Виета $x_1 = 3$, $x_2 = -7$.
2. Подставляем в знаменатель: $3^2 - 3 - 3 = 3 \ne 0$; $\ (-7)^2 + 7 - 3 = 53 \ne 0$.
3. Оба числа — корни, других нет.

1. Числитель: $x^2 - x - 2 = 0$, корни $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
2. Знаменатель при $x = 2$: $\ 8 - 8 - 6 = -6 \ne 0$ — корень подходит.
3. Знаменатель при $x = -1$: $\ -1 - 2 + 3 = 0$ — дробь не имеет смысла, $-1$ не корень.

1. а) Числитель обращается в нуль при $x = \dfrac32$. Знаменатель: $4 \cdot \dfrac{81}{16} + 4 \cdot \dfrac{27}{8} - 15 \cdot \dfrac94 + 3 - 3 = \dfrac{81}{4} + \dfrac{54}{4} - \dfrac{135}{4} = 0$. Единственный кандидат отпал — корней нет.
2. б) Уравнение $x^2 + x + 1 = 0$ не имеет корней ($D = -3$), значит, и дробь в нуль не обращается.

Из примеров видно: знаменатель «отсекает» часть корней числителя. Поэтому решение всегда в два шага — нули числителя, затем проверка знаменателя.

Решим $2 - \dfrac{x + 1}{x - 1} = 0$. Вычтем дроби: $2 - \dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{2(x - 1) - (x + 1)}{x - 1} = \dfrac{x - 3}{x - 1}$.

При любом $x \ne 1$ левая и правая части этого равенства равны, поэтому уравнение равносильно $\dfrac{x - 3}{x - 1} = 0$. Числитель равен нулю при $x = 3$, знаменатель $3 - 1 = 2 \ne 0$. Корень $3$.

1. Всё влево: $\dfrac{x - 1}{x + 2} - \dfrac{x - 4}{x - 3} + 1 = 0$.
2. Общий знаменатель $(x + 2)(x - 3)$: числитель $(x - 1)(x - 3) - (x - 4)(x + 2) + (x + 2)(x - 3) = x^2 - 4x + 3 - x^2 + 2x + 8 + x^2 - x - 6 = x^2 - 3x + 5$.
3. $x^2 - 3x + 5 = 0$: $\ D = 9 - 20 = -11 < 0$ — корней нет, значит, нет корней и у исходного уравнения.

1. Знаменатель не равен нулю: $x \ne 3$ и $x \ne -3$.
2. При этом условии умножаем на знаменатель: $2x^2 + 7x + 3 = x^2 - 9$, $\ x^2 + 7x + 12 = 0$, $\ x = -3$ или $x = -4$.
3. $x = -3$ обращает знаменатель в нуль — посторонний корень. Остаётся $x = -4$.

1. $x^2 - 16 \ne 0$, то есть $x \ne \pm4$. Тогда $x^2 - 16 = 9$, $\ x^2 = 25$, $\ x = \pm5$.
2. Оба числа не обращают знаменатель в нуль. Больший корень $5$.

1. Сокращать на $x - 6$ нельзя — потеряем корень. Переносим: $(x - 6)\left(\dfrac{1}{7x + 3} - \dfrac{1}{5x - 1}\right) = 0$.
2. $x - 6 = 0$ даёт $x = 6$; знаменатели $45$ и $29$ не нули.
3. $\dfrac{1}{7x + 3} = \dfrac{1}{5x - 1}$ при $7x + 3 = 5x - 1$, $\ x = -2$; знаменатели $-11$ и $-11$ не нули.
4. Корни $-2$ и $6$, больший — $6$.

Если любой корень первого уравнения является корнем второго, второе называют следствием первого.

Отбросив знаменатель — «освободив уравнение от знаменателя», — получают следствие: $P(x) = 0$ — следствие уравнения $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$. Но у следствия могут быть посторонние корни: $x^2 - 1 = 0$ имеет корни $\pm1$, а $\dfrac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ — только $1$.

В уравнении $x^2 + \dfrac1x = 9x + \dfrac1x$ хочется «сократить» $\dfrac1x$. Получим $x^2 - 9x = 0$ с корнями $9$ и $0$.

Но при $x = 0$ выражения $x^2 + \dfrac10$ и $9 \cdot 0 + \dfrac10$ не имеют смысла: $0$ — посторонний корень. Ответ: $9$.

В ОГЭ этот приём замаскирован корнем: $x^2 - 2x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 35$. Корни сокращаются, но условие $6 - x \ge 0$ остаётся.

1. Уравнение имеет смысл при $6 - x \ge 0$, то есть $x \le 6$.
2. Приведя подобные, получаем следствие $x^2 - 2x - 35 = 0$, корни $x = 7$ и $x = -5$.
3. $x = 7$ не удовлетворяет условию $x \le 6$: $\sqrt{6 - 7}$ не имеет смысла. Остаётся $x = -5$.

1. Знаменатели: $x \ne 1$, $x \ne -2$, $x \ne 0$. Общий знаменатель $x(x - 1)(x + 2)$.
2. Числитель после переноса: $x(x + 2) + 4x(x - 1) - 3(x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x + 4x^2 - 4x - 3x^2 - 3x + 6 = 2x^2 - 5x + 6$.
3. $2x^2 - 5x + 6 = 0$: $\ D = 25 - 48 < 0$ — корней нет.

• $\dfrac ab = 0 \iff a = 0$ и $b \ne 0$: находим нули числителя и выбрасываем те, что обнуляют знаменатель.
• Рациональное уравнение: всё влево, одна дробь, затем правило «дробь равна нулю».
• На скобку с $x$ не сокращаем — выносим её; иначе теряем корень.
• Освободились от знаменателя, привели подобные, возвели в квадрат — проверяем корни: появляются посторонние.