Замена неизвестного

В биквадратном уравнении мы обозначали $x^2$ буквой $y$. Тот же приём работает всегда, когда одно и то же выражение с $x$ входит в уравнение несколько раз.

Схема: 1) заметить повторяющееся выражение и обозначить его $y$; 2) решить уравнение относительно $y$; 3) вернуться к $x$ — решить уравнения «выражение $= y_i$» для каждого найденного $y_i$; 4) если были знаменатели — проверить, что они не обращаются в нуль.

1. Замена $y = x^2 - 5x + 7$: $\ y^2 - 2y - 3 = 0$, $\ y_1 = 3$, $y_2 = -1$.
2. $x^2 - 5x + 7 = 3$, то есть $x^2 - 5x + 4 = 0$: $\ x = 4$ и $x = 1$.
3. $x^2 - 5x + 7 = -1$, то есть $x^2 - 5x + 8 = 0$: $\ D = 25 - 32 < 0$, корней нет.

1. Замена $y = x^4 + x^2 - 3$, тогда вторая скобка равна $y + 2$: $\ y(y + 2) + 2 = 0$, $\ y^2 + 2y + 2 = 0$.
2. $D = 4 - 8 < 0$ — уравнение относительно $y$ корней не имеет, а значит, нет корней и у исходного.

1. Замена $y = x^2 + 4x$: $\ y - \dfrac{15}{y} - 2 = 0$, то есть $\dfrac{y^2 - 2y - 15}{y} = 0$.
2. $y^2 - 2y - 15 = 0$: $\ y_1 = 5$, $y_2 = -3$; ни одно не обращает знаменатель $y$ в нуль.
3. $x^2 + 4x = 5$: $\ x^2 + 4x - 5 = 0$, $\ x = 1$, $x = -5$.
4. $x^2 + 4x = -3$: $\ x^2 + 4x + 3 = 0$, $\ x = -1$, $x = -3$.

1. Заметим: $(x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6$. Замена $y = x^2 - 5x + 6$: $\ y + 1 = \dfrac{12}{y}$.
2. $\dfrac{y^2 + y - 12}{y} = 0$: $\ y_1 = 3$, $y_2 = -4$, оба не равны нулю.
3. $x^2 - 5x + 6 = 3$: $\ x^2 - 5x + 3 = 0$, $\ x = \dfrac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$.
4. $x^2 - 5x + 6 = -4$: $\ x^2 - 5x + 10 = 0$, $\ D = 25 - 40 < 0$ — корней нет.

В ОГЭ №20 встречаются уравнения вида $\dfrac{1}{x^2} + \dfrac4x - 12 = 0$. Здесь повторяется $\dfrac1x$: $\ \dfrac{1}{x^2} = \left(\dfrac1x\right)^2$.

Замена $t = \dfrac1x$ даёт квадратное уравнение. При этом $t \ne 0$ (дробь $\dfrac1x$ нулю не равна), а $x \ne 0$ — его исключает сама запись уравнения.

Так же решают $\dfrac{1}{(x - 2)^2} - \dfrac{1}{x - 2} - 6 = 0$: замена $t = \dfrac{1}{x - 2}$.

1. $t = \dfrac1x$: $\ t^2 + 4t - 12 = 0$, по теореме Виета $t = 2$ или $t = -6$.
2. $\dfrac1x = 2$ даёт $x = \dfrac12$; $\ \dfrac1x = -6$ даёт $x = -\dfrac16$. Оба не нули.

1. $t = \dfrac{1}{x - 2}$, $\ x \ne 2$: $\ t^2 - t - 6 = 0$, $\ t = 3$ или $t = -2$.
2. $\dfrac{1}{x - 2} = 3$: $\ x - 2 = \dfrac13$, $\ x = \dfrac73$.
3. $\dfrac{1}{x - 2} = -2$: $\ x - 2 = -\dfrac12$, $\ x = \dfrac32$.

1. $y = (x + 2)^2 \ge 0$: $\ y^2 - 4y - 5 = 0$, $\ y = 5$ или $y = -1$; $\ y = -1$ отбрасываем.
2. $(x + 2)^2 = 5$: $\ x + 2 = \pm\sqrt5$, $\ x = -2 \pm \sqrt5$.

1. Перемножим скобки парами так, чтобы получилось одинаковое выражение: $x(x + 5) = x^2 + 5x$, $\ (x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6$.
2. Замена $y = x^2 + 5x$: $\ y(y + 6) = 72$, $\ y^2 + 6y - 72 = 0$, $\ y = 6$ или $y = -12$.
3. $x^2 + 5x - 6 = 0$: $\ x = 1$, $x = -6$. $\ x^2 + 5x + 12 = 0$: $\ D = 25 - 48 < 0$ — корней нет.

1. Дроби взаимно обратные. Замена $t = \dfrac{x}{x - 1}$ ($x \ne 0$, $x \ne 1$): $\ t + \dfrac1t = \dfrac{13}{6}$, $\ 6t^2 - 13t + 6 = 0$.
2. $D = 169 - 144 = 25$, $\ t = \dfrac{13 \pm 5}{12}$: $\ t = \dfrac32$ или $t = \dfrac23$.
3. $\dfrac{x}{x - 1} = \dfrac32$: $\ 2x = 3x - 3$, $\ x = 3$. $\ \dfrac{x}{x - 1} = \dfrac23$: $\ 3x = 2x - 2$, $\ x = -2$.

• Ищем выражение, которое повторяется: $x^2 - 5x + 7$, $\ x^2 + 4x$, $\ (x + 2)^2$, $\ \dfrac1x$.
• Иногда его надо «собрать»: перемножить скобки парами, заметить, что $(x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6$.
• Решили относительно $y$ — обязательно возвращаемся к $x$.
• Учитываем ограничения: $(x + a)^2 \ge 0$, $\ \dfrac1x \ne 0$, знаменатели не равны нулю.