Задачи с помощью рациональных уравнений

• Обозначить неизвестную величину буквой — обычно ту, о которой спрашивают.
• Выразить через неё остальные величины. Удобно вести таблицу.
• Составить уравнение по условию, которое ещё не использовано.
• Решить рациональное уравнение и проверить знаменатели.
• Отобрать корни по смыслу задачи: скорость положительна, против течения больше скорости течения и т. п.

1. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость. По реке: скорость $x + 1$, время $\dfrac{60}{x + 1}$ ч. По притоку: скорость $x - 1$, время $\dfrac{20}{x - 1}$ ч.
2. Уравнение: $\dfrac{60}{x + 1} + \dfrac{20}{x - 1} = 7$. Всё влево и к общему знаменателю: $\dfrac{7x^2 - 80x + 33}{(x + 1)(x - 1)} = 0$.
3. $7x^2 - 80x + 33 = 0$: $\ x_1 = 11$, $x_2 = \dfrac37$; знаменатель ни в одном случае не нуль.
4. По смыслу $x > 1$ — теплоход шёл против течения притока. Подходит только $11$.

Столбец «время» складываем — это и есть уравнение. Неизвестное стоит в знаменателе, поэтому уравнение рациональное.

1. Пусть первая бригада выполняет задание за $x$ дней, вторая — за $x + 10$. Всё задание примем за $1$.
2. В день первая делает $\dfrac1x$ задания, вторая $\dfrac{1}{x + 10}$, вместе $\dfrac{1}{12}$: $\ \dfrac1x + \dfrac{1}{x + 10} = \dfrac{1}{12}$.
3. Приводим к общему знаменателю $12x(x + 10)$: $\ 12(x + 10) + 12x - x(x + 10) = 0$, $\ x^2 - 14x - 120 = 0$.
4. $x_1 = 20$, $x_2 = -6$. Время положительно: $x = 20$, тогда $x + 10 = 30$.

1. Пусть $v$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. По течению $\dfrac{36}{v + 3}$ ч, против — $\dfrac{36}{v - 3}$ ч.
2. $\dfrac{36}{v + 3} + \dfrac{36}{v - 3} = 5$, $\ 36(v - 3) + 36(v + 3) = 5\left(v^2 - 9\right)$, $\ 5v^2 - 72v - 45 = 0$.
3. $D = 72^2 + 4 \cdot 5 \cdot 45 = 5184 + 900 = 6084 = 78^2$, $\ v = \dfrac{72 \pm 78}{10}$: $\ v = 15$ или $v = -0{,}6$.
4. Скорость положительна и больше скорости течения: $15$.

1. Пусть первая труба пропускает $x$ л/мин, вторая $x + 10$ л/мин. Время заполнения: $\dfrac{60}{x}$ и $\dfrac{60}{x + 10}$ мин.
2. Первая дольше на $3$ минуты: $\dfrac{60}{x} - \dfrac{60}{x + 10} = 3$.
3. $60(x + 10) - 60x = 3x(x + 10)$, $\ 600 = 3x^2 + 30x$, $\ x^2 + 10x - 200 = 0$, $\ x = 10$ или $x = -20$.
4. Пропускная способность положительна: $10$.

1. Пусть скорость второй $x$ км/ч, первой $x + 20$. Время: $\dfrac{60}{x}$ и $\dfrac{60}{x + 20}$ ч.
2. Вторая едет дольше на $\dfrac12$ ч: $\dfrac{60}{x} - \dfrac{60}{x + 20} = \dfrac12$.
3. $2 \cdot 60 \cdot 20 = x(x + 20)$, $\ x^2 + 20x - 2400 = 0$, $\ x = 40$ или $x = -60$.
4. $x = 40$: скорости $40$ и $60$ км/ч.

1. Пусть первый выполняет работу за $x$ ч, второй — за $x + 12$ ч. Уравнение: $\dfrac1x + \dfrac{1}{x + 12} = \dfrac18$.
2. $8(x + 12) + 8x = x(x + 12)$, $\ x^2 - 4x - 96 = 0$, $\ x = 12$ или $x = -8$.
3. $x = 12$, значит, второй — за $24$ ч.

• Обозначаем, выражаем через таблицу, составляем уравнение по неиспользованному условию.
• Время $= \dfrac{\text{путь}}{\text{скорость}}$, по течению $v + u$, против $v - u$; работа $= 1$, за единицу времени делается $\dfrac1t$ работы.
• «На … быстрее / раньше» — разность времён; «вместе» — сумма производительностей.
• Корни отбираем по смыслу: отрицательная скорость или время не подходят.