Распадающиеся уравнения

Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Если $a \ne 0$ и $b \ne 0$, то и $ab \ne 0$. А если, например, $a = 0$, то $ab = 0 \cdot b = 0$ при любом $b$.

Решим $(x^2 - 5x + 6)(x^2 + x - 2) = 0$. Если $x_0$ — корень, то $(x_0^2 - 5x_0 + 6)(x_0^2 + x_0 - 2) = 0$ — верное числовое равенство.

Произведение чисел равно нулю, значит, верно хотя бы одно из равенств $x_0^2 - 5x_0 + 6 = 0$ или $x_0^2 + x_0 - 2 = 0$: $x_0$ — корень хотя бы одного из этих уравнений.

И наоборот: любой корень любого из них обращает в нуль один множитель, а с ним и всё произведение.

Корни первого: $2$ и $3$; второго: $-2$ и $1$. Ответ: $-2;\ 1;\ 2;\ 3$ — и других корней нет.

Уравнение вида $A(x) \cdot B(x) = 0$, где $A(x)$ и $B(x)$ — многочлены относительно $x$, называют распадающимся уравнением.

Перед разложением все члены переносят в одну часть, чтобы справа остался $0$.

• Вынести общий множитель: $x^3 - 2x^2 - 3x = x\left(x^2 - 2x - 3\right)$.
• Группировка: $x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = x^2(x + 4) - 9(x + 4) = (x + 4)\left(x^2 - 9\right)$.
• Формулы сокращённого умножения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, $\ a^3 - b^3 = (a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right)$, $\ a^3 + b^3 = (a + b)\left(a^2 - ab + b^2\right)$.
• Квадратный трёхчлен: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$, $x_2$ — его корни.

1. а) Разность кубов: $(x - 1)\left(x^2 + x + 1\right) = 0$. $x - 1 = 0$ даёт $x = 1$; у $x^2 + x + 1 = 0$ дискриминант $1 - 4 < 0$ — корней нет.
2. б) $x^6 - 1 = \left(x^2\right)^3 - 1 = \left(x^2 - 1\right)\left(x^4 + x^2 + 1\right)$.
3. $x^2 - 1 = 0$ даёт $x = \pm1$. Уравнение $x^4 + x^2 + 1 = 0$ биквадратное: $y = x^2$, $\ y^2 + y + 1 = 0$, $\ D = -3 < 0$ — корней нет.

1. Группируем первые два и последние два члена: $x^2(x + 4) - 9(x + 4) = 0$.
2. Общий множитель $(x + 4)$: $\ (x + 4)\left(x^2 - 9\right) = 0$, $\ (x + 4)(x - 3)(x + 3) = 0$.
3. $x = -4$, $\ x = 3$, $\ x = -3$.

1. Переносим всё влево: $x^3 - x^2 - 6x = 0$, $\ x\left(x^2 - x - 6\right) = 0$.
2. $x = 0$ или $x^2 - x - 6 = 0$: по теореме Виета $x = 3$, $x = -2$.

Уравнение $(x - 2)^2(x - 3) = 20(x - 2)$ так и хочется «сократить» на $(x - 2)$. Получится $(x - 2)(x - 3) = 20$ — и корень $x = 2$ пропадёт: при $x = 2$ мы делили бы на нуль.

Правильно — перенести всё в одну часть и вынести общий множитель:

1. $(x - 2)\bigl((x - 2)(x - 3) - 20\bigr) = 0$, то есть $(x - 2)\left(x^2 - 5x + 6 - 20\right) = 0$.
2. $x - 2 = 0$ даёт $x = 2$.
3. $x^2 - 5x - 14 = 0$: по теореме Виета $x = 7$ и $x = -2$.

1. $x^4 = \left(x^2\right)^2$. Переносим и раскладываем разность квадратов: $\left(x^2\right)^2 - (4x - 5)^2 = \left(x^2 - 4x + 5\right)\left(x^2 + 4x - 5\right) = 0$.
2. $x^2 - 4x + 5 = 0$: $\ D = 16 - 20 < 0$, корней нет.
3. $x^2 + 4x - 5 = 0$: по теореме Виета $x = 1$ и $x = -5$.

1. $x^6 = \left(x^2\right)^3$, уравнение имеет вид $a^3 = b^3$ с $a = x^2$, $b = 6x - 5$.
2. $a^3 - b^3 = (a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right)$, а $a^2 + ab + b^2 = \left(a + \dfrac b2\right)^2 + \dfrac34 b^2$ равно нулю только при $a = b = 0$. Значит, $a^3 = b^3 \iff a = b$.
3. $x^2 = 6x - 5$, $\ x^2 - 6x + 5 = 0$, $\ x = 1$ или $x = 5$.

Рядом с распадающимися в ОГЭ стоит уравнение $(x^2 - 25)^2 + (x^2 + 3x - 10)^2 = 0$. Это не произведение, а сумма — и логика другая.

Квадраты неотрицательны. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если оба равны нулю:

1. Оба квадрата должны равняться нулю одновременно: $x^2 - 25 = 0$ и $x^2 + 3x - 10 = 0$.
2. Первое: $x = \pm5$. Второе: по теореме Виета $x = -5$ и $x = 2$.
3. Общий корень один: $x = -5$.

1. $x^2 - 3x + 1 = 0$: $\ D = 9 - 4 = 5$, $\ x = \dfrac{3 \pm \sqrt5}{2}$.
2. $x^2 + 4x - 3 = 0$: $\ \dfrac D4 = 4 + 3 = 7$, $\ x = -2 \pm \sqrt7$.
3. Объединяем: четыре корня.

• $A(x) \cdot B(x) = 0 \iff A(x) = 0$ или $B(x) = 0$ — решаем каждое и объединяем корни.
• Сначала всё в одну часть, потом раскладываем: общий множитель, группировка, формулы сокращённого умножения.
• На выражение с $x$ не делим — выносим за скобки, иначе теряем корень.
• $a^3 = b^3 \iff a = b$; $\ a^2 + b^2 = 0 \iff a = b = 0$ — общие корни, а не объединение.