Отношения чисел. Масштаб

Частное двух не равных нулю чисел $a$ и $b$ называют ещё отношением чисел $a$ и $b$. Числа $a$ и $b$ называют членами отношения.

$8 : 2$, или $\dfrac82$, — отношение числа $8$ к числу $2$; оно равно $4$. Читают: «отношение восьми к двум» или «восемь относится к двум».

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго ($8 : 2 = 4$ — в $4$ раза) или какую часть первое число составляет от второго ($3 : 12 = \dfrac14$ — четверть).

Из основного свойства частного (и основного свойства дроби) следует свойство отношения: отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Так отношения упрощают: $40 : 50 = 4 : 5$ (оба члена разделили на $10$); $\ 99 : 18 = 11 : 2$ (на $9$).

Отношение дробей заменяют отношением натуральных чисел: члены умножают на общий знаменатель. $\dfrac12 : \dfrac13 = \dfrac62 : \dfrac63 = 3 : 2$ (умножили на $6$).

1. а) $450 : 250$ — оба члена делим на $\text{НОД}(450, 250) = 50$: $9 : 5$. $\quad 720 : 81$ — делим на $9$: $80 : 9$.
2. б) Общий знаменатель $35$: $\dfrac25 \cdot 35 = 14$, $\ \dfrac37 \cdot 35 = 15$, отношение $14 : 15$.
3. $2\dfrac12 : 1\dfrac23 = \dfrac52 : \dfrac53$. Умножим на $6$: $15 : 10 = 3 : 2$. Можно и делением: $\dfrac52 \cdot \dfrac35 = \dfrac32$.

Частное двух величин называют отношением этих величин. Отношение величин одного наименования (длин, масс, стоимостей, выраженных одинаковыми единицами) есть число: $\dfrac{5 \text{ км}}{3 \text{ км}} = \dfrac53$; $\ \dfrac{2 \text{ дм}}{1 \text{ см}} = \dfrac{20 \text{ см}}{1 \text{ см}} = 20$.

Отношение величин разных наименований есть новая величина: путь : время — скорость $\dfrac{5 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = \dfrac53 \ \dfrac{\text{км}}{\text{ч}}$; масса : объём — плотность $\dfrac{520 \text{ кг}}{2 \text{ м}^3} = 260 \ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$; масса соли : объём раствора — концентрация $\dfrac{12 \text{ кг}}{3 \text{ м}^3} = 4 \ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Даже цена — отношение стоимости к количеству: $\dfrac{100 \text{ р.}}{2 \text{ кг}} = 50 \ \dfrac{\text{р.}}{\text{кг}}$. Единицы скорости часто пишут через наклонную черту: км/ч, м/мин, м/с.

1. Сначала выражаем обе величины в одних единицах, потом сокращаем.
2. а) $12 \text{ м} = 120 \text{ дм}$: $\ \dfrac{120}{15} = 8$.
3. б) $2 \text{ т} = 2000 \text{ кг}$: $\ \dfrac{450}{2000} = \dfrac{9}{40}$.
4. в) $18 \text{ м}^3 = 18\,000 \text{ дм}^3$: $\ \dfrac{9900}{18\,000} = \dfrac{11}{20}$.

1. Скорость — отношение пути ко времени. $20$ мин $= \dfrac{20}{60} = \dfrac13$ ч.
2. В км/ч: $\ 1\dfrac12 : \dfrac13 = \dfrac32 \cdot 3 = \dfrac92 = 4\dfrac12$ (км/ч).
3. В м/мин: $1\dfrac12$ км $= 1500$ м, $\ 1500 : 20 = 75$ (м/мин).

• С плана — на местность: расстояние на плане умножают на знаменатель масштаба. Масштаб $1 : 200$, на плане $40$ мм — в жизни $40 \cdot 200 = 8000$ мм $= 8$ м.
• С местности — на план: настоящее расстояние делят на знаменатель. $340$ м в масштабе $1 : 500$: $34\,000 \text{ см} : 500 = 68$ см.
• Найти масштаб: отношение длины на плане к настоящей длине в одинаковых единицах: $12$ см изображают $360$ м $= 36\,000$ см, масштаб $12 : 36\,000 = 1 : 3000$.
• Масштаб $10 : 1$ или $4 : 1$ — предмет увеличен (так рисуют мелкие детали, насекомых); $1 : 100$ — уменьшен.

1. $200$ км $= 200\,000$ м $= 20\,000\,000$ см. На карте расстояние в знаменатель масштаба раз меньше.
2. а) $20\,000\,000 : 1\,000\,000 = 20$ см.
3. б) $20\,000\,000 : 200\,000 = 100$ см $= 1$ м — такую карту не уместить на столе.
4. в) $20\,000\,000 : 5\,000\,000 = 4$ см.

1. $360$ м $= 36\,000$ см. Масштаб: $12 : 36\,000 = 1 : 3000$.
2. Меньшая сторона на местности: $6 \cdot 3000 = 18\,000$ см $= 180$ м.
3. Проверка через отношение: стороны плана относятся как $12 : 6 = 2 : 1$, и стороны поля — тоже: $360 : 180 = 2 : 1$ ✓.

• $a : b = \dfrac ab$; отношение не меняется при умножении и делении членов на одно число $\ne 0$.
• Отношение однородных величин — число (единицы сначала уравнять); разнородных — новая величина: скорость, плотность, цена.
• Масштаб — отношение длины на плане к настоящей длине; $1 : n$ — на местности в $n$ раз больше.
• С плана на местность — умножаем на $n$, с местности на план — делим на $n$.