Деление в данном отношении. Пропорции

Разделим между двумя друзьями $60$ конфет в отношении $2 : 3$. Считаем, что $60$ конфет — это $2 + 3 = 5$ частей; на одну часть приходится $60 : 5 = 12$ конфет.

На две части — $12 \cdot 2 = 24$ конфеты, на три — $12 \cdot 3 = 36$. Первому $24$, второму $36$.

Так число $c$ делят в отношении $a : b$. Для трёх частей — так же: делим на $a + b + c$.

Последнее действие удобно заменить вычитанием: второму $60 - 24 = 36$. Проверка: части в сумме дают всё число, и их отношение — данное: $24 : 36 = 2 : 3$ ✓.

1. Естественно разделить $1000$ р. в том отношении, в котором вкладывали: $500 : 300 = 5 : 3$.
2. Частей $5 + 3 = 8$, одна часть $1000 : 8 = 125$ р.
3. Старшему $125 \cdot 5 = 625$ р., младшему $1000 - 625 = 375$ р.

1. Делим $26\,000$ р. в отношении $6 : 4 : 3$: частей $6 + 4 + 3 = 13$, одна часть $26\,000 : 13 = 2000$ р.
2. Первый: $2000 \cdot 6 = 12\,000$ р.; второй: $2000 \cdot 4 = 8000$ р.; третий: $2000 \cdot 3 = 6000$ р.
3. Проверка: $12\,000 + 8000 + 6000 = 26\,000$ ✓.

1. Быстрее всего — если обе закончат одновременно, то есть работа делится в отношении их скоростей.
2. За $1$ ч: первая — $90 : 10 = 9$ с., вторая — $90 : 15 = 6$ с. Отношение $9 : 6 = 3 : 2$.
3. Первой: $90 : (3 + 2) \cdot 3 = 54$ с., второй: $90 - 54 = 36$ с. Обе закончат через $6$ ч.

1. Частей $3 + 5 = 8$, одна часть $120 : 8 = 15$ голосов.
2. Победитель получил больше — $5$ частей: $15 \cdot 5 = 75$.

Два отношения могут оказаться равными: $20 : 4 = 15 : 3$ (оба равны $5$). Равенство двух отношений называют пропорцией.

Читают: «отношение $a$ к $b$ равно отношению $c$ к $d$», или «$a$ относится к $b$, как $c$ относится к $d$».

Числа $a$ и $d$ называют крайними членами пропорции, $b$ и $c$ — средними. Названия условны: записав пропорцию справа налево, $c : d = a : b$, получим, что крайние стали средними.

Доказательство: умножим равенство $\dfrac ab = \dfrac cd$ на $b \cdot d$: $\ \dfrac{a \cdot b \cdot d}{b} = \dfrac{c \cdot b \cdot d}{d}$, то есть $a \cdot d = c \cdot b$.

Верно и обратное. Если $a, b, c, d \ne 0$ и $a \cdot d = b \cdot c$, то $\dfrac ab = \dfrac cd$: разделим равенство на $b \cdot d$.

Из пропорции $\dfrac ab = \dfrac cd$ следует $\dfrac ba = \dfrac dc$ (равны дроби — равны и обратные), а также $\dfrac ac = \dfrac bd$ и $\dfrac dc = \dfrac ba$ — крайние или средние члены можно менять местами.

1. Проверяем по основному свойству: произведение крайних равно произведению средних?
2. а) $\dfrac23 \cdot 12 = 8$, $\ \dfrac45 \cdot 10 = 8$ — равны, пропорция верна.
3. б) $\dfrac37 \cdot 28 = 12$, $\ \dfrac49 \cdot 27 = 12$ — равны, верна.

Если один член пропорции неизвестен, говорят, что нужно решить пропорцию.

Пример 1 (с. 15). $\dfrac x{12} = \dfrac74$. Умножим обе части на $12$: $\ x = \dfrac{7 \cdot 12}{4} = 21$.

Пример 2 (с. 16). $\dfrac{30}x = \dfrac58$. По основному свойству $x \cdot 5 = 30 \cdot 8$, $\ x = \dfrac{30 \cdot 8}5 = 48$.

Пример 3 (с. 16). $\dfrac7{12} = \dfrac{10}x$. Перевернём обе дроби: $\dfrac x{10} = \dfrac{12}7$, $\ x = \dfrac{12 \cdot 10}7 = 17\dfrac17$.

1. а) $x$ — крайний член: $14 \cdot x = 15 \cdot 3$, $\ x = \dfrac{45}{14} = 3\dfrac3{14}$.
2. б) $12 \cdot x = 25 \cdot 75$, $\ x = \dfrac{25 \cdot 75}{12} = \dfrac{1875}{12} = \dfrac{625}4 = 156\dfrac14$.
3. Проверка б): $12 \cdot 156\dfrac14 = 1875 = 25 \cdot 75$ ✓.

• Разделить $c$ в отношении $a : b$: $c : (a + b)$ — одна часть, затем умножить на $a$ и на $b$.
• Пропорция — равенство отношений $a : b = c : d$; $a, d$ — крайние, $b, c$ — средние члены.
• Основное свойство: $ad = bc$; верно и обратное.
• Неизвестный член: произведение «накрест» лежащих, делённое на оставшийся известный.