Числа и вычисления · 6 класс · урок 3 из 6 · Никольский, «Математика 6», гл. 1, п. 1.5

Прямая и обратная пропорциональность

Выход к заданиям: ОГЭ №1, ОГЭ №2, ОГЭ №3, ОГЭ №4, ОГЭ №5, ОГЭ №21, ЕГЭ №11, ЕГЭ №13

Сначала нужно знать: Пропорции
Зачем этот урок: ВПР, задание 7: работа, расход, движение; ОГЭ, практические задания
Дальше: Понятие процента

Отношения, пропорции, проценты · урок 3

Пропорциональность

Прямо и обратно пропорциональные величины, задачи через пропорцию

Прямая пропорциональность

Количество ручек, шт.	$1$	$2$	$4$	$5$	$6$
Стоимость, р.	$3$	$6$	$12$	$15$	$18$

Ручка стоит $3$ р. С увеличением количества ручек в несколько раз их стоимость увеличивается во столько же раз.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Стоимость покупки прямо пропорциональна количеству купленных ручек.

Путь и время прямо пропорциональны при постоянной скорости: за $2$ ч машина проедет $120$ км, за $6$ ч — в $3$ раза больше, $360$ км.

Обратная пропорциональность

Цена книги, р.	$10$	$20$	$30$	$40$	$60$	$120$
Количество книг, шт.	$12$	$6$	$4$	$3$	$2$	$1$

Хотят купить на $120$ р. несколько одинаковых книг. С увеличением цены в несколько раз количество книг уменьшается во столько же раз.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Скорость и время на одном и том же пути обратно пропорциональны: со скоростью $50$ км/ч участок проезжают за $4$ ч, со скоростью $25$ км/ч — за $8$ ч.

Как отличить

При прямой пропорциональности постоянно отношение величин: $\dfrac{\text{стоимость}}{\text{количество}} = 3$ р. — это цена; $\dfrac{\text{путь}}{\text{время}}$ — скорость.
При обратной пропорциональности постоянно произведение: $\text{цена} \cdot \text{количество} = 120$ р.; $\text{скорость} \cdot \text{время} =$ путь.
Не всякая растущая зависимость — пропорциональность. Рост человека увеличивается с возрастом, но в $10$ лет человек не вдвое выше, чем в $5$ . Сторона квадрата и его площадь: сторона вдвое больше — площадь вчетверо.

Никольский, Математика 6, п. 1.5Задача 1

Двигаясь с постоянной скоростью, поезд прошёл

60

м за

2

с. Какой путь пройдёт поезд за

15

с?

При постоянной скорости путь прямо пропорционален времени. Одинаково направленные стрелки показывают прямую пропорциональность.
Время увеличилось в $\dfrac{15}2$ раза, путь — в $\dfrac x{60}$ раз, и эти отношения равны: $\ \dfrac x{60} = \dfrac{15}2$ .
$x = \dfrac{15 \cdot 60}2 = 450$ .

Ответ: $450$ м

Никольский, Математика 6, п. 1.5Задача 2

Поезд, скорость которого

45

км/ч, затратил на некоторый участок пути

4

ч. За сколько часов пройдёт этот же участок товарный поезд, если его скорость

40

км/ч?

При постоянном пути скорость и время обратно пропорциональны — стрелки противоположны.
Скорость уменьшилась в $\dfrac{45}{40}$ раза, время увеличилось в $\dfrac x4$ раза: $\ \dfrac{45}{40} = \dfrac x4$ .
$x = \dfrac{45 \cdot 4}{40} = \dfrac92 = 4\dfrac12$ . Проверка через произведение: $45 \cdot 4 = 180 = 40 \cdot 4\dfrac12$ ✓.

Ответ: $4\dfrac12$ ч

Алгоритм

Записать кратко условие: известные значения в одной строке, неизвестное $x$ — в другой, под соответствующей величиной.
Определить вид зависимости и поставить стрелки: прямая — в одну сторону, обратная — в разные.
Составить пропорцию: при прямой — отношения берутся «по стрелкам» одинаково; при обратной одно из отношений переворачивают.
Решить пропорцию и сделать прикидку: при прямой зависимости больше одно — больше и другое.

ВПР 5 класс, задание 7Пример 1

Для экипажа из

25

человек запасов питьевой воды осталось на

54

дня. В этот момент на борт подняли

20

человек, потерпевших кораблекрушение. Через сколько дней потребуется пополнить запасы воды? (Норма у всех одинакова.)

Людей стало $25 + 20 = 45$ . Чем больше людей, тем быстрее кончится вода — число людей и число дней обратно пропорциональны.
$\dfrac{45}{25} = \dfrac{54}x$ , $\ x = \dfrac{25 \cdot 54}{45} = 30$ .
Иначе: запаса хватит на $25 \cdot 54 = 1350$ «человеко-дней»; $1350 : 45 = 30$ .

Ответ: $30$

ВПР 5 класс, задание 7Пример 2

Двенадцать каменщиков построили первый этаж детского сада за

28

дней. На второй этаж, точно такой же, прораб пригласил ещё несколько каменщиков, и этаж построили за

16

дней. Сколько каменщиков пригласил прораб?

Число рабочих и время на одну и ту же работу обратно пропорциональны: $\ 12 \cdot 28 = x \cdot 16$ .
$x = \dfrac{12 \cdot 28}{16} = 21$ каменщик работал на втором этаже.
Пригласили $21 - 12 = 9$ .

Ответ: $9$

Никольский, Математика 6, п. 1.5Задача 3

Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Плотнику дали

20

работников, и он сказал, что они построят двор за

30

дней. А господину надобно построить в

5

дней. Сколько человек плотнику надо иметь?

Время уменьшилось в $30 : 5 = 6$ раз — работников (обратная пропорциональность) нужно в $6$ раз больше.
$20 \cdot 6 = 120$ человек. Через пропорцию: $\dfrac x{20} = \dfrac{30}5$ .

Ответ: $120$ человек

Главное

Прямая пропорциональность: одна величина больше в $k$ раз — и другая больше в $k$ раз; постоянно их отношение.
Обратная: одна больше в $k$ раз — другая меньше в $k$ раз; постоянно произведение.
Краткая запись со стрелками → пропорция → ответ; при обратной зависимости одно отношение переворачивают.
Прикидка: ответ должен меняться в нужную сторону.

Прямая и обратная пропорциональность

Все уроки станции «Отношения, пропорции, проценты»