Числа и вычисления · 6 класс · урок 5 из 6 · Никольский, «Математика 6», гл. 1, п. 1.7

Задачи на проценты

Выход к заданиям: ОГЭ №1, ОГЭ №2, ОГЭ №3, ОГЭ №4, ОГЭ №5, ОГЭ №21, ЕГЭ №11, ЕГЭ №13

Сначала нужно знать: Понятие процента, пропорции
Зачем этот урок: ВПР «Действия с процентами»; ОГЭ: скидки, повышение и понижение цен
Дальше: Круговые диаграммы

Отношения, пропорции, проценты · урок 5

Задачи на проценты

Как на дроби, через пропорцию; увеличение и уменьшение на p %

Проценты — это дроби

Процент любой величины можно записать дробью этой величины, поэтому задачи на проценты решают как задачи на дроби — умножением или делением на дробь.

Найти проценты от числа — умножить число на $\dfrac p{100}$ . Найти число по его процентам — разделить данную часть на $\dfrac p{100}$ .

Никольский, Математика 6, п. 1.7Задача 1

В городе

64

тыс. избирателей,

85\%

всех избирателей приняли участие в выборах. Сколько избирателей приняли участие в выборах?

Найдём $85\%$ , или $\dfrac{85}{100}$ , от $64\,000$ :
$\dfrac{85}{100} \cdot 64\,000 = 85 \cdot 640 = 54\,400$ .

Ответ: $54\,400$ избирателей

Никольский, Математика 6, п. 1.7Задача 2

В соревнованиях было

9

победителей, что составило

18\%

всех участников. Сколько было участников?

$9$ — это $\dfrac{18}{100}$ неизвестного числа. Делим на дробь:
$9 : \dfrac{18}{100} = 9 \cdot \dfrac{100}{18} = 50$ .

Ответ: $50$ участников

Через пропорцию

Простые задачи на проценты решают одним приёмом — как задачи на прямую пропорциональность: число и его проценты прямо пропорциональны, всё число — $100\%$ .

Пример 1 (с. 29). $8\%$ от $35$ : $\ \dfrac{35}x = \dfrac{100}8$ , $\ x = \dfrac{35 \cdot 8}{100} = \dfrac{14}5 = 2\dfrac45$ .

Пример 2. Число, $12\%$ которого равны $3$ : $\ \dfrac x3 = \dfrac{100}{12}$ , $\ x = 25$ . Пример 3. Сколько процентов $8$ составляет от $40$ : $\ \dfrac{40}8 = \dfrac{100}x$ , $\ x = 20\%$ .

Увеличение и уменьшение на p %

Увеличить число на $p\%$ — прибавить к нему $p\%$ от него же. Цена $500$ р. повысилась на $20\%$ : повышение $500 \cdot \dfrac{20}{100} = 100$ р., новая цена $600$ р.

Короче: новое число составляет $100\% + 20\% = 120\%$ старого: $500 \cdot \dfrac{120}{100} = 600$ . При уменьшении на $p\%$ остаётся $(100 - p)\%$ .

Если известно новое значение, а ищем старое, — это задача «число по его процентам»: делим на $\dfrac{100 \pm p}{100}$ .

A \xrightarrow{+p\%} A \cdot \frac{100 + p}{100} \qquad\qquad A \xrightarrow{-p\%} A \cdot \frac{100 - p}{100}

Никольский, Математика 6, п. 1.7Пример 1

У Алёши

80

марок, у Бори на

20\%

больше, чем у Алёши. У Вовы на

25\%

меньше, чем у Алёши. Сколько марок у Бори и у Вовы?

Проценты берутся от числа, с которым сравнивают — от $80$ (у Алёши).
Боря: $80 \cdot \dfrac{120}{100} = 96$ марок. Вова: $25\% = \dfrac14$ , $\ 80 - 80 : 4 = 60$ марок.

Ответ: $96$ и $60$

ВПР 5 классПример 2

1

апреля магазин снизил цены на зимние ботинки на

20\%

, и они стали стоить

3040

рублей. Сколько рублей стоили ботинки до снижения цены?

Новая цена составляет $100\% - 20\% = 80\%$ старой. Ищем число по его процентам.
$1\%$ старой цены: $3040 : 80 = 38$ р.; вся цена: $38 \cdot 100 = 3800$ р.
Частая ошибка: $3040 + 20\%$ от $3040$ — так считать нельзя, ведь $20\%$ брались от старой цены.

Ответ: $3800$

ВПР 5 классПример 3

В январе завод выпустил

200

холодильников, а в феврале —

212

. На сколько процентов выросло производство холодильников?

Прирост: $212 - 200 = 12$ холодильников.
Проценты считаем от начального значения: $\dfrac{12}{200} \cdot 100 = 6\%$ .

Ответ: $6$

ОГЭПример 4

В начале учебного года в школе было

1250

учащихся, а к концу года их стало

950

. На сколько процентов уменьшилось за год число учащихся?

Уменьшение: $1250 - 950 = 300$ учащихся.
От начального числа: $\dfrac{300}{1250} = \dfrac{6}{25} = \dfrac{24}{100}$ , то есть $24\%$ .

Ответ: $24$

Ловушка: туда и обратно

Цену $1000$ р. повысили на $20\%$ , а потом понизили на $20\%$ . Вернулась ли она к $1000$ р.?

После повышения: $1000 \cdot \dfrac{120}{100} = 1200$ р. После понижения: $1200 \cdot \dfrac{80}{100} = 960$ р. — меньше, чем было.

Причина: второй раз $20\%$ берутся уже от $1200$ , а не от $1000$ . Проценты всегда считают от того числа, с которым сравнивают.

Главное

Проценты от числа — умножить на $\dfrac p{100}$ ; число по процентам — разделить на $\dfrac p{100}$ .
Пропорция: всё число — $100\%$ , его часть — $p\%$ .
Увеличить на $p\%$ — умножить на $\dfrac{100 + p}{100}$ ; уменьшить — на $\dfrac{100 - p}{100}$ .
«На сколько процентов изменилось» — изменение делят на начальное значение.

Задачи на проценты

Все уроки станции «Отношения, пропорции, проценты»