Определение подобных треугольников

• Отношение отрезков $AB$ и $CD$ — отношение их длин $\dfrac{AB}{CD}$; оно не зависит от единиц измерения.
• Отрезки $AB$ и $CD$ пропорциональны отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{CD}{C_1D_1}$. Например, $2$ см и $1$ см пропорциональны $3$ см и $1{,}5$ см: $\dfrac23 = \dfrac{1}{1{,}5}$.
• Так же для трёх и более отрезков: $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{CD}{C_1D_1} = \dfrac{EF}{E_1F_1}$.

Фигуры одинаковой формы, но, возможно, разного размера называют подобными: любые два квадрата, любые два круга.

Если у треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ углы соответственно равны, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $CA$ и $C_1A_1$ называют сходственными.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого: $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{CA}{C_1A_1} = k$.

$k$ — коэффициент подобия. Запись: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство. $\angle A = \angle A_1$, поэтому по теореме об отношении площадей треугольников с равным углом $\dfrac{S}{S_1} = \dfrac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} = \dfrac{AB}{A_1B_1} \cdot \dfrac{AC}{A_1C_1} = k \cdot k = k^2$.

А периметры и высоты, проведённые к сходственным сторонам, относятся как $k$ (№ 543, № 547): все линейные размеры меняются в $k$ раз, площади — в $k^2$ раз.

1. а) $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC}$: $AB = \dfrac{9 \cdot 7{,}5}{4{,}5} = 15$ см.
2. б) $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{14}{21} = \dfrac23$. Пусть $BD = 2x$, $DC = 3x$: $5x = 20$, $x = 4$.
3. $BD = 8$ см, $DC = 12$ см.

1. а) $k^2 = \dfrac{75}{300} = \dfrac14$, $k = \dfrac12$: сторона $9 : 2 = 4{,}5$ м.
2. б) Площади относятся как $36 : 25$. Пусть $S = 36x$, $S_1 = 25x$: $11x = 77$, $x = 7$.
3. $S = 252$ см$^2$, $S_1 = 175$ см$^2$.

• Подобные треугольники: углы равны, сходственные стороны пропорциональны с коэффициентом $k$.
• Периметры и высоты относятся как $k$, площади — как $k^2$.
• Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон.
• Прямая, параллельная стороне, отсекает подобный треугольник.