Признаки подобия

Доказательство. Пусть $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$. Тогда и $\angle C = \angle C_1$ (сумма углов $180^\circ$).

По теореме о треугольниках с равным углом: $\dfrac{S}{S_1} = \dfrac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$ (угол $A$) и $\dfrac{S}{S_1} = \dfrac{CA \cdot CB}{C_1A_1 \cdot C_1B_1}$ (угол $C$). Отсюда $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1}$. Так же, по углам $A$ и $B$, $\dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{CA}{C_1A_1}$.

Доказательство. Пусть $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$, $\angle A = \angle A_1$. Построим $\triangle ABC_2$ с $\angle 1 = \angle A_1$, $\angle 2 = \angle B_1$ — он подобен $\triangle A_1B_1C_1$ по двум углам, поэтому $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC_2}{A_1C_1}$.

Сравнивая с условием, $AC = AC_2$. $\triangle ABC = \triangle ABC_2$ по двум сторонам и углу между ними, значит, $\angle B = \angle 2 = \angle B_1$ — и треугольники подобны по первому признаку.

Доказательство. Строим тот же $\triangle ABC_2$, подобный $\triangle A_1B_1C_1$: $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC_2}{B_1C_1} = \dfrac{C_2A}{C_1A_1}$.

Сравнивая с условием, $BC = BC_2$ и $CA = C_2A$. $\triangle ABC = \triangle ABC_2$ по трём сторонам, поэтому $\angle A = \angle 1 = \angle A_1$ — подобие по второму признаку.

Например, треугольники со сторонами $3, 5, 7$ и $4{,}5;\ 7{,}5;\ 10{,}5$ подобны: все отношения равны $\dfrac23$.

• Прямая, параллельная стороне, отсекает треугольник, подобный данному: общий угол и соответственные углы.
• Диагонали трапеции дают подобные треугольники $AOB$ и $COD$: накрест лежащие углы при основаниях и вертикальные углы при $O$.
• Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе делит его на два подобных ему треугольника.
• Равнобедренные треугольники подобны, если у них равны углы при вершине (или при основании) — один угол уже определяет остальные.

1. а) Не обязательно: у одного острый угол может быть при вершине, у другого — при основании. Например, $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$ и $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$.
2. б) Да: тупой угол может быть только при вершине, тогда углы при основании равны $\dfrac{180^\circ - \alpha}{2}$ у обоих — подобие по двум углам.
3. в) Да: прямой угол при вершине, остальные по $45^\circ$.

1. 1) Верно — третий признак подобия.
2. 2) Верно.
3. 3) Неверно: биссектрисой является только высота, проведённая к основанию.

• Подобны, если: два угла равны; две стороны пропорциональны и углы между ними равны; три стороны пропорциональны.
• Чаще всего работает первый признак — ищите параллельные прямые и вертикальные углы.
• Отношение сходственных сторон берите из пары известных сходственных сторон.
• Равнобедренные треугольники подобны при равных углах при вершине.