Применение подобия к задачам

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Доказательство. $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ по второму признаку: угол $B$ общий, $\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac12$.

Поэтому $\angle 1 = \angle 2$ — соответственные углы, значит, $MN \parallel AC$; и $\dfrac{MN}{AC} = \dfrac12$.

Средняя линия отсекает треугольник с $k = \dfrac12$ — его площадь в $4$ раза меньше площади исходного.

Доказательство. Пусть медианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в $O$. $A_1B_1$ — средняя линия: $A_1B_1 \parallel AB$, $A_1B_1 = \dfrac12 AB$.

$\angle 1 = \angle 2$ и углы при $B$ и $B_1$ — накрест лежащие, поэтому $\triangle AOB \sim \triangle A_1OB_1$: $\dfrac{AO}{A_1O} = \dfrac{BO}{B_1O} = \dfrac{AB}{A_1B_1} = 2$.

Так же точка пересечения $BB_1$ и $CC_1$ делит их в отношении $2 : 1$ — это та же точка $O$. Все три медианы проходят через $O$.

• Высота $CD$, проведённая из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый подобен данному: $\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CBD$ (общие острые углы).
• Отрезок $XY = \sqrt{AB \cdot CD}$ называют средним пропорциональным (средним геометрическим) отрезков $AB$ и $CD$.
• 1°. $CD = \sqrt{AD \cdot DB}$ — высота есть среднее пропорциональное отрезков гипотенузы.
• 2°. $AC = \sqrt{AB \cdot AD}$ — катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на неё.
• Сложив $AC^2 = AB \cdot AD$ и $BC^2 = AB \cdot BD$, получим ещё одно доказательство теоремы Пифагора (№ 578).

• Высота предмета. Шест $AC$ с планкой направлен на верх столба $A_1$; прямоугольные $\triangle A_1C_1B \sim \triangle ACB$, поэтому $A_1C_1 = \dfrac{AC \cdot BC_1}{BC}$. При $BC_1 = 6{,}3$ м, $BC = 2{,}1$ м, $AC = 1{,}7$ м: $A_1C_1 = 5{,}1$ м.
• Расстояние до недоступной точки. Измеряют $AC$ и углы $A$, $C$, на бумаге строят подобный треугольник в масштабе $1 : 1000$ — длина $A_1B_1$ в миллиметрах равна $AB$ в метрах.
• Метод подобия в построениях: сначала строят треугольник, подобный искомому, затем «растягивают» его до нужного размера.
• Подобными бывают любые фигуры: карты одного района в разных масштабах, фотографии одного предмета.

1. $MN$ — средняя линия, $\triangle CNM \sim \triangle CAB$ с $k = \dfrac12$: $S_{ABC} = 2 \cdot 4 = 8$.
2. $S_{ABMN} = 8 - 2 = 6$.