Соотношения в прямоугольном треугольнике

Пусть у прямоугольных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ острые углы $A$ и $A_1$ равны. Тогда они подобны по первому признаку: $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$.

Отсюда $\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{B_1C_1}{A_1B_1}$, то есть $\sin A = \sin A_1$; так же $\cos A = \cos A_1$, $\operatorname{tg} A = \operatorname{tg} A_1$.

Значит, синус, косинус и тангенс — характеристики самого угла, а не конкретного треугольника. Их значения можно брать из таблиц или с калькулятора.

$\sin^2 A + \cos^2 A = \dfrac{BC^2}{AB^2} + \dfrac{AC^2}{AB^2} = \dfrac{BC^2 + AC^2}{AB^2} = 1$ — по теореме Пифагора.

По одной из функций находим остальные: если $\cos A = 0{,}6$, то $\sin A = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8$, $\operatorname{tg} A = \dfrac{0{,}8}{0{,}6} = \dfrac43$.

«Тригонометрия» в переводе с греческого — «измерение треугольников».

$30^\circ$ и $60^\circ$: катет против $30^\circ$ равен половине гипотенузы, поэтому $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac12$; остальные — из тождества: $\cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

$45^\circ$: в равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетом $a$ гипотенуза $a\sqrt2$: $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$, $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$.

• Катет, противолежащий углу, = гипотенуза $\cdot$ синус; прилежащий = гипотенуза $\cdot$ косинус.
• Противолежащий катет = прилежащий $\cdot$ тангенс.
• Гипотенуза = катет : синус противолежащего угла (или : косинус прилежащего).
• Второй острый угол $B = 90^\circ - A$, и $\sin B = \cos A$, $\cos B = \sin A$.

1. $AC = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15$.
2. $\sin A = \dfrac{8}{17}$, $\cos A = \dfrac{15}{17}$, $\operatorname{tg} A = \dfrac{8}{15}$.
3. $\sin B = \dfrac{15}{17}$, $\cos B = \dfrac{8}{17}$, $\operatorname{tg} B = \dfrac{15}{8}$.

1. $\operatorname{tg} A = \dfrac{BC}{AC}$ — противолежащий катет к прилежащему.
2. $AC = \dfrac{BC}{\operatorname{tg} A} = \dfrac{18}{3} = 6$.

1. $\cos A = \dfrac{AC}{AB}$ — прилежащий катет к гипотенузе.
2. $AB = \dfrac{AC}{\cos A} = 15 \cdot \dfrac75 = 21$.

1. Гипотенуза $\sqrt{15 + 1} = 4$.
2. Наименьший угол лежит против наименьшего катета $1$: $\sin = \dfrac14 = 0{,}25$.

• $\sin$ — противолежащий : гипотенуза, $\cos$ — прилежащий : гипотенуза, $\operatorname{tg}$ — противолежащий : прилежащий.
• Значения зависят только от угла (подобие); $\sin^2 + \cos^2 = 1$, $\operatorname{tg} = \dfrac{\sin}{\cos}$.
• $\sin 30^\circ = \dfrac12$, $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$ — косинусы в обратном порядке.
• Катет $=$ гипотенуза $\cdot \sin$ противолежащего угла $=$ гипотенуза $\cdot \cos$ прилежащего.