Геометрия · 9 класс · урок 1 из 3 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. XI, § 1
Синус, косинус, тангенс угла от 0° до 180° Выход к заданиям: ОГЭ №15 , ОГЭ №19 , ОГЭ №23 , ОГЭ №25 , ЕГЭ №1 , ЕГЭ №2 , ЕГЭ №15 , ЕГЭ №18
Сначала нужно знать Уравнения окружности и прямой Зачем этот урок Тригонометрия тупых углов нужна для площади треугольника и теорем синусов и косинусов (ОГЭ №15, №23) Дальше Теорема синусов и теорема косинусов Теоремы синусов и косинусов · урок 1
Синус, косинус, тангенс угла от 0° до 180°
Единичная полуокружность и формулы приведения
Определение через полуокружность x y A(1; 0) B(−1; 0) C(0; 1) M(x; y) D α O Единичная полуокружность — полуокружность радиуса 1 1 1 с центром в начале координат в I и II четвертях. Луч h h h из O O O под углом α \alpha α к оси O x Ox O x пересекает её в точке M ( x ; y ) M(x; y) M ( x ; y ) . Для острого α \alpha α из прямоугольного △ D O M \triangle DOM △ D O M : sin α = M D O M = y \sin\alpha = \dfrac{MD}{OM} = y sin α = O M M D = y , cos α = O D O M = x \cos\alpha = \dfrac{OD}{OM} = x cos α = O M O D = x . Для любого угла 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ по определению sin α = y \sin\alpha = y sin α = y , cos α = x \cos\alpha = x cos α = x — ордината и абсцисса точки M M M . Отсюда 0 ≤ sin α ≤ 1 0 \le \sin\alpha \le 1 0 ≤ sin α ≤ 1 , − 1 ≤ cos α ≤ 1 -1 \le \cos\alpha \le 1 − 1 ≤ cos α ≤ 1 . sin 0 ∘ = 0 \sin 0^\circ = 0 sin 0 ∘ = 0 , sin 90 ∘ = 1 \sin 90^\circ = 1 sin 9 0 ∘ = 1 , sin 180 ∘ = 0 \sin 180^\circ = 0 sin 18 0 ∘ = 0 ; cos 0 ∘ = 1 \ \cos 0^\circ = 1 cos 0 ∘ = 1 , cos 90 ∘ = 0 \cos 90^\circ = 0 cos 9 0 ∘ = 0 , cos 180 ∘ = − 1 \cos 180^\circ = -1 cos 18 0 ∘ = − 1 . У тупого угла косинус отрицателен. Тангенс, тождество, формулы приведения Тангенс: tg α = sin α cos α \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tg α = cos α sin α ( α ≠ 90 ∘ \alpha \ne 90^\circ α = 9 0 ∘ ); tg 0 ∘ = tg 180 ∘ = 0 \operatorname{tg} 0^\circ = \operatorname{tg} 180^\circ = 0 tg 0 ∘ = tg 18 0 ∘ = 0 , при 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ не определён. Основное тождество sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 — точка M M M лежит на окружности x 2 + y 2 = 1 x^2 + y^2 = 1 x 2 + y 2 = 1 . Теперь оно верно для всех 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ . Формулы приведения: sin ( 90 ∘ − α ) = cos α \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha sin ( 9 0 ∘ − α ) = cos α , cos ( 90 ∘ − α ) = sin α \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha cos ( 9 0 ∘ − α ) = sin α ; sin ( 180 ∘ − α ) = sin α \ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α , cos ( 180 ∘ − α ) = − cos α \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha cos ( 18 0 ∘ − α ) = − cos α . Поэтому sin 120 ∘ = sin 60 ∘ = 3 2 \sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2} sin 12 0 ∘ = sin 6 0 ∘ = 2 3 , cos 120 ∘ = − cos 60 ∘ = − 1 2 \cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\dfrac12 cos 12 0 ∘ = − cos 6 0 ∘ = − 2 1 : смежные углы имеют равные синусы и противоположные косинусы . Координаты точки Пусть A ( x ; y ) A(x; y) A ( x ; y ) — точка с y ≥ 0 y \ge 0 y ≥ 0 , α \alpha α — угол между лучом O A OA O A и полуосью O x Ox O x . Луч пересекает полуокружность в M ( cos α ; sin α ) M(\cos\alpha; \sin\alpha) M ( cos α ; sin α ) .
O A → = O A ⋅ O M → \overrightarrow{OA} = OA \cdot \overrightarrow{OM} O A = O A ⋅ O M — векторы сонаправлены, а ∣ O M → ∣ = 1 |\overrightarrow{OM}| = 1 ∣ O M ∣ = 1 . Отсюда формулы для x x x и y y y .
Атанасян, № 1016 Пример 1
Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов 120 ∘ 120^\circ 12 0 ∘ , 135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘ , 150 ∘ 150^\circ 15 0 ∘ . 120 ∘ = 180 ∘ − 60 ∘ 120^\circ = 180^\circ - 60^\circ 12 0 ∘ = 18 0 ∘ − 6 0 ∘ : sin = 3 2 \sin = \dfrac{\sqrt3}{2} sin = 2 3 , cos = − 1 2 \cos = -\dfrac12 cos = − 2 1 , tg = − 3 \operatorname{tg} = -\sqrt3 tg = − 3 . 135 ∘ = 180 ∘ − 45 ∘ 135^\circ = 180^\circ - 45^\circ 13 5 ∘ = 18 0 ∘ − 4 5 ∘ : sin = 2 2 \sin = \dfrac{\sqrt2}{2} sin = 2 2 , cos = − 2 2 \cos = -\dfrac{\sqrt2}{2} cos = − 2 2 , tg = − 1 \operatorname{tg} = -1 tg = − 1 . 150 ∘ = 180 ∘ − 30 ∘ 150^\circ = 180^\circ - 30^\circ 15 0 ∘ = 18 0 ∘ − 3 0 ∘ : sin = 1 2 \sin = \dfrac12 sin = 2 1 , cos = − 3 2 \cos = -\dfrac{\sqrt3}{2} cos = − 2 3 , tg = − 3 3 \operatorname{tg} = -\dfrac{\sqrt3}{3} tg = − 3 3 . Ответ: см. решение
Атанасян, № 1018, 1019 Пример 2
а) Найдите координаты точки A A A , если O A = 5 OA = 5 O A = 5 , α = 150 ∘ \alpha = 150^\circ α = 15 0 ∘ ; O A = 2 OA = 2 O A = 2 , α = 30 ∘ \alpha = 30^\circ α = 3 0 ∘ . б) Найдите угол между лучом O A OA O A и полуосью O x Ox O x , если A ( − 3 ; 1 ) A(-\sqrt3; 1) A ( − 3 ; 1 ) ; A ( − 2 2 ; 2 2 ) A(-2\sqrt2; 2\sqrt2) A ( − 2 2 ; 2 2 ) . а) x = 5 cos 150 ∘ = − 5 3 2 x = 5\cos 150^\circ = -\dfrac{5\sqrt3}{2} x = 5 cos 15 0 ∘ = − 2 5 3 , y = 5 sin 150 ∘ = 5 2 y = 5\sin 150^\circ = \dfrac52 y = 5 sin 15 0 ∘ = 2 5 . Во втором: ( 3 ; 1 ) (\sqrt3; 1) ( 3 ; 1 ) . б) O A = 3 + 1 = 2 OA = \sqrt{3 + 1} = 2 O A = 3 + 1 = 2 : cos α = − 3 2 \cos\alpha = -\dfrac{\sqrt3}{2} cos α = − 2 3 , sin α = 1 2 \sin\alpha = \dfrac12 sin α = 2 1 — α = 150 ∘ \alpha = 150^\circ α = 15 0 ∘ . O A = 8 + 8 = 4 OA = \sqrt{8 + 8} = 4 O A = 8 + 8 = 4 : cos α = − 2 2 \cos\alpha = -\dfrac{\sqrt2}{2} cos α = − 2 2 — α = 135 ∘ \alpha = 135^\circ α = 13 5 ∘ . Ответ:
а) ( − 5 3 2 ; 5 2 ) \left(-\dfrac{5\sqrt3}{2}; \dfrac52\right) ( − 2 5 3 ; 2 5 ) , ( 3 ; 1 ) (\sqrt3; 1) ( 3 ; 1 ) ; б) 150 ∘ 150^\circ 15 0 ∘ , 135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘ Главное sin α \sin\alpha sin α и cos α \cos\alpha cos α — ордината и абсцисса точки единичной полуокружности. sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 , tg α = sin α cos α \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tg α = cos α sin α . sin ( 180 ∘ − α ) = sin α \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α , cos ( 180 ∘ − α ) = − cos α \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha cos ( 18 0 ∘ − α ) = − cos α . Синус угла треугольника всегда положителен, косинус тупого — отрицателен. Теорема синусов и теорема косинусов →