Теорема синусов и теорема косинусов

Доказательство. Начало координат — в $C$, точка $B$ на положительной полуоси, $A$ — с положительной ординатой. Тогда $A(b\cos C; b\sin C)$.

Высота к $BC$ равна ординате $A$: $h = b\sin C$, поэтому $S = \dfrac12 a h = \dfrac12 ab\sin C$.

Площадь параллелограмма — $ab\sin\alpha$ (№ 1021); четырёхугольника с диагоналями $d_1$, $d_2$ и углом $\varphi$ между ними — $\dfrac12 d_1 d_2 \sin\varphi$.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. $S = \dfrac12 ab\sin C = \dfrac12 bc\sin A = \dfrac12 ca\sin B$. Из первых двух $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}$, из двух других — $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$.

Отношение равно $2R$ (№ 1033). Проведём диаметр $BA_1$; $\angle BCA_1 = 90^\circ$, $BC = 2R\sin A_1$, а $\sin A_1 = \sin A$ (углы равны или дополняют друг друга до $180^\circ$).

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство. $A(0; 0)$, $B(c; 0)$, $C(b\cos A; b\sin A)$. $\ a^2 = BC^2 = (b\cos A - c)^2 + b^2\sin^2 A = b^2(\cos^2 A + \sin^2 A) - 2bc\cos A + c^2$.

При $A = 90^\circ$ получаем теорему Пифагора — поэтому теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора.

Вид треугольника по сторонам: угол против большей стороны $c$ острый, если $c^2 < a^2 + b^2$; прямой, если $c^2 = a^2 + b^2$; тупой, если $c^2 > a^2 + b^2$.