Скалярное произведение векторов

• Скалярное произведение — произведение длин векторов на косинус угла между ними. Это число.
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда $\vec a \cdot \vec b = 0$. Произведение положительно при остром угле, отрицательно при тупом.
• Скалярный квадрат: $\vec a \cdot \vec a = \vec a^2 = |\vec a|^2$.
• В физике: работа постоянной силы $A = \vec F \cdot \overrightarrow{MN} = |\vec F|\,|\overrightarrow{MN}|\cos\varphi$.

Доказательство. Отложим $\overrightarrow{OA} = \vec a$, $\overrightarrow{OB} = \vec b$. По теореме косинусов $AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2\,OA \cdot OB\cos\alpha$, то есть $|\vec b - \vec a|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2\,\vec a \cdot \vec b$.

Подставим $|\vec a|^2 = x_1^2 + y_1^2$, $|\vec b|^2 = x_2^2 + y_2^2$, $|\vec b - \vec a|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ — получится $\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2$.

Следствия: $\vec a \perp \vec b \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0$; $\ \cos\alpha = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$.

• 1°. $\vec a^2 \ge 0$, причём $\vec a^2 > 0$ при $\vec a \ne \vec 0$.
• 2°. $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a$ — переместительный закон.
• 3°. $(\vec a + \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec c$ — распределительный (проверяется в координатах).
• 4°. $(k\vec a) \cdot \vec b = k(\vec a \cdot \vec b)$ — сочетательный.
• Поэтому раскрываем скобки как в алгебре: $(\vec a + \vec b)^2 = \vec a^2 + 2\,\vec a \cdot \vec b + \vec b^2$.

1. а) $2 \cdot 3 \cdot \dfrac{\sqrt2}{2} = 3\sqrt2$; $\ 2 \cdot 3 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = -3\sqrt2$.
2. б) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2\cos 60^\circ = \dfrac{a^2}{2}$.
3. Угол между $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{CB}$ (отложить от одной точки!) равен $120^\circ$: $a^2\cos 120^\circ = -\dfrac{a^2}{2}$. $\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BD}$: $0$.

1. а) $|\vec P + \vec Q|^2 = 64 + 225 + 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos 120^\circ = 289 - 120 = 169$, равнодействующая $13$.
2. б) $-30 + 30 = 0$ — векторы перпендикулярны.
3. в) $4x - 30 = 0$, $x = 7{,}5$.

1. Векторы отложены от одной точки $A$, угол между ними $60^\circ$.
2. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 36 \cdot 36 \cdot \dfrac12 = 648$.

1. $\vec a \cdot \vec b = 2\sqrt3 \cdot 5 \cdot \cos 150^\circ = 10\sqrt3 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right) = -15$.

• $\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\alpha$; угол — между векторами, отложенными от одной точки.
• В координатах $x_1x_2 + y_1y_2$; перпендикулярность — это $0$.
• $\vec a^2 = |\vec a|^2$; скобки раскрываются как в алгебре.
• Тупой угол — отрицательное скалярное произведение.