Геометрия · 7 класс · урок 1 из 4 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. IV, § 1

Сумма углов треугольника

Выход к заданиям: ОГЭ №15, ОГЭ №16, ОГЭ №17, ОГЭ №19, ОГЭ №23, ОГЭ №24, ОГЭ №25, ЕГЭ №1, ЕГЭ №18

Сначала нужно знать
Аксиома параллельных прямых
Зачем этот урок
ОГЭ №15: найти угол треугольника — третий угол, внешний угол, углы равнобедренного
Дальше
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Соотношения в треугольнике · урок 1
Сумма углов треугольника
Одна из важнейших теорем геометрии и её следствия
Теорема о сумме углов
ABCa12345

Доказательство. Проведём через вершину BB прямую a∥ACa \parallel AC.

Углы 11 и 44 — накрест лежащие при a∥ACa \parallel AC и секущей ABAB; углы 33 и 55 — накрест лежащие при секущей BCBC. Поэтому ∠4=∠1\angle 4 = \angle 1, ∠5=∠3\angle 5 = \angle 3.

Углы 44, 22, 55 составляют развёрнутый угол с вершиной BB: ∠4+∠2+∠5=180∘\angle 4 + \angle 2 + \angle 5 = 180^\circ. Значит, ∠1+∠2+∠3=180∘\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ, то есть ∠A+∠B+∠C=180∘\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ.

Сумма углов треугольника равна 180∘180^\circ.
Внешний угол
ABC1234

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство. ∠4+∠3=180∘\angle 4 + \angle 3 = 180^\circ (смежные), ∠1+∠2+∠3=180∘\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ (сумма углов). Отсюда ∠4=∠1+∠2\angle 4 = \angle 1 + \angle 2.

Виды треугольников
ACBостроугольныйтупоугольныйгипотенузакатеткатет
  • Если один угол треугольника прямой или тупой, то два других в сумме не больше 90∘90^\circ — каждый из них острый. В любом треугольнике хотя бы два угла острые.
  • Остроугольный — все углы острые; тупоугольный — один угол тупой; прямоугольный — один угол прямой.
  • В прямоугольном треугольнике сторона против прямого угла — гипотенуза, две другие — катеты.
Простые следствия
  • Каждый угол равностороннего треугольника равен 60∘60^\circ. Все его углы равны (как углы при основании, какую сторону ни возьми основанием), а вместе дают 180∘180^\circ.
  • Углы при основании равнобедренного треугольника острые: два равных тупых или прямых угла дали бы в сумме не меньше 180∘180^\circ.
  • Угол при вершине равнобедренного =180∘−2⋅= 180^\circ - 2 \cdot угол при основании; угол при основании =180∘−угол при вершине2= \dfrac{180^\circ - \text{угол при вершине}}{2}.
Атанасян, № 223, 224Пример 1
а) Найдите угол CC треугольника ABCABC, если ∠A=24∘\angle A = 24^\circ, ∠B=130∘\angle B = 130^\circ; если ∠A=60∘+α\angle A = 60^\circ + \alpha, ∠B=60∘−α\angle B = 60^\circ - \alpha. б) Найдите углы треугольника, если ∠A:∠B:∠C=2:3:4\angle A : \angle B : \angle C = 2 : 3 : 4.
  1. а) ∠C=180∘−24∘−130∘=26∘\angle C = 180^\circ - 24^\circ - 130^\circ = 26^\circ. Во втором случае ∠C=180∘−(60∘+α)−(60∘−α)=60∘\angle C = 180^\circ - (60^\circ + \alpha) - (60^\circ - \alpha) = 60^\circ.
  2. б) 2x+3x+4x=180∘2x + 3x + 4x = 180^\circ, x=20∘x = 20^\circ: углы 40∘40^\circ, 60∘60^\circ, 80∘80^\circ.
Ответ: а) 26∘26^\circ; 60∘60^\circ; б) 40∘40^\circ, 60∘60^\circ, 80∘80^\circ
Атанасян, № 228, 230Пример 2
а) Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен 40∘40^\circ; 100∘100^\circ. б) Биссектрисы углов AA и BB треугольника ABCABC пересекаются в точке MM. Найдите ∠AMB\angle AMB, если ∠A=58∘\angle A = 58^\circ, ∠B=96∘\angle B = 96^\circ.
  1. а) 40∘40^\circ может быть углом при основании: 40∘40^\circ, 40∘40^\circ, 100∘100^\circ; или углом при вершине: 40∘40^\circ, 70∘70^\circ, 70∘70^\circ. Угол 100∘100^\circ — только при вершине (при основании углы острые): 100∘100^\circ, 40∘40^\circ, 40∘40^\circ.
  2. б) В треугольнике AMBAMB: ∠MAB=29∘\angle MAB = 29^\circ, ∠MBA=48∘\angle MBA = 48^\circ, ∠AMB=180∘−29∘−48∘=103∘\angle AMB = 180^\circ - 29^\circ - 48^\circ = 103^\circ.
Ответ: а) 40∘,40∘,100∘40^\circ, 40^\circ, 100^\circ или 40∘,70∘,70∘40^\circ, 70^\circ, 70^\circ; 100∘,40∘,40∘100^\circ, 40^\circ, 40^\circ; б) 103∘103^\circ
ОГЭ, задание 15Пример 3
В треугольнике ABCABC AC=BCAC = BC. Внешний угол при вершине BB равен 146∘146^\circ. Найдите угол CC. Ответ дайте в градусах.
  1. ∠B=180∘−146∘=34∘\angle B = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ (смежный с внешним).
  2. AC=BCAC = BC — основание ABAB, углы при нём равны: ∠A=∠B=34∘\angle A = \angle B = 34^\circ.
  3. ∠C=180∘−2⋅34∘=112∘\angle C = 180^\circ - 2 \cdot 34^\circ = 112^\circ.
Ответ: 112
ОГЭ, задание 15Пример 4
ACMB65°
В треугольнике ABCABC проведена медиана BMBM. Найдите градусную меру угла AA, если ∠C=65∘\angle C = 65^\circ и BM=AM=MCBM = AM = MC.
  1. BM=MCBM = MC: в △BMC\triangle BMC ∠MBC=∠C=65∘\angle MBC = \angle C = 65^\circ.  BM=AM\ BM = AM: в △ABM\triangle ABM ∠ABM=∠A\angle ABM = \angle A.
  2. Сумма углов △ABC\triangle ABC: ∠A+(∠A+65∘)+65∘=180∘\angle A + (\angle A + 65^\circ) + 65^\circ = 180^\circ, откуда 2∠A=50∘2\angle A = 50^\circ.
  3. ∠A=25∘\angle A = 25^\circ. Попутно ∠B=25∘+65∘=90∘\angle B = 25^\circ + 65^\circ = 90^\circ: если медиана равна половине стороны, треугольник прямоугольный (Атанасян, № 231).
Ответ: 25
Главное
  • ∠A+∠B+∠C=180∘\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ — доказывается через параллельную стороне прямую.
  • Внешний угол равен сумме двух углов, не смежных с ним.
  • Хотя бы два угла треугольника острые; у равностороннего все по 60∘60^\circ.
  • В равнобедренном: вершина =180∘−2⋅= 180^\circ - 2 \cdot основание.

Все уроки станции «Соотношения в треугольнике»

  1. Сумма углов треугольника
  2. Соотношения между сторонами и углами
  3. Прямоугольные треугольники
  4. Построение треугольника по трём элементам