Геометрия · 7 класс · урок 2 из 4 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. IV, § 2

Соотношения между сторонами и углами

Выход к заданиям: ОГЭ №15, ОГЭ №16, ОГЭ №17, ОГЭ №19, ОГЭ №23, ОГЭ №24, ОГЭ №25, ЕГЭ №1, ЕГЭ №18

Сначала нужно знать: Сумма углов треугольника
Зачем этот урок: ОГЭ №19: «треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует», признак равнобедренного треугольника
Дальше: Прямоугольные треугольники

Соотношения в треугольнике · урок 2

Против большей стороны — больший угол. Неравенство треугольника

Против большей стороны — больший угол

Доказательство 1). Пусть $AB > AC$ ; докажем $\angle C > \angle B$ . Отложим на $AB$ отрезок $AD = AC$ ; $D$ лежит между $A$ и $B$ , поэтому $\angle C > \angle 1$ .

$\angle 2$ — внешний угол $\triangle BDC$ , значит, $\angle 2 > \angle B$ . $\angle 1 = \angle 2$ — углы при основании равнобедренного $\triangle ADC$ . Итак, $\angle C > \angle 1 = \angle 2 > \angle B$ .

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Обратное утверждение

Доказательство 2). Пусть $\angle C > \angle B$ ; докажем $AB > AC$ . Предположим противное: либо $AB = AC$ , либо $AB < AC$ .

Если $AB = AC$ , треугольник равнобедренный и $\angle C = \angle B$ . Если $AB < AC$ , то по части 1) $\angle C < \angle B$ . Оба случая противоречат условию — значит, $AB > AC$ .

Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета: она лежит против прямого угла, катет — против острого.
Следствие 2 (признак равнобедренного треугольника). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный: стороны против равных углов не могут быть неравными, иначе против большей лежал бы больший угол.

Неравенство треугольника

Доказательство. Докажем $AB < AC + CB$ . Отложим на продолжении $AC$ отрезок $CD = CB$ . В равнобедренном $\triangle BCD$ $\angle 1 = \angle 2$ .

В $\triangle ABD$ угол $ABD$ больше угла $2$ , значит, больше угла $1 = \angle ADB$ . Против большего угла лежит большая сторона: $AB < AD = AC + CD = AC + CB$ .

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Как проверить, существует ли треугольник

Для любых трёх точек $A$ , $B$ , $C$ , не лежащих на одной прямой: $AB < AC + CB$ , $AC < AB + BC$ , $BC < BA + AC$ — неравенства треугольника.
Достаточно проверить одно: наибольшая сторона меньше суммы двух других.
Отсюда же: каждая сторона больше разности двух других: $AB > AC - BC$ (Атанасян, № 251).
Если $AB = AC + CB$ , точки лежат на одной прямой ( $C$ — между $A$ и $B$ ): «вырожденный треугольник» не существует.

Атанасян, № 236Пример 1

Сравните углы треугольника

ABC

и выясните, может ли угол

A

быть тупым, если: а)

AB > BC > AC

; б)

AB = AC < BC

а) Против $AB$ — угол $C$ , против $BC$ — угол $A$ , против $AC$ — угол $B$ : $\angle C > \angle A > \angle B$ . Угол $A$ тупым быть не может: тогда и больший угол $C$ был бы тупым, а двух тупых углов в треугольнике нет.
б) $\angle B = \angle C$ (против равных сторон), а $\angle A$ — против наибольшей стороны $BC$ , он наибольший. Угол $A$ может быть тупым: например, $120^\circ$ , $30^\circ$ , $30^\circ$ .

Ответ: а) $\angle C > \angle A > \angle B$ , не может; б) $\angle A > \angle B = \angle C$ , может

Атанасян, № 248–250Пример 2

а) Существует ли треугольник со сторонами

1{,}2

дм,

1

дм,

2{,}4

дм? б) В равнобедренном треугольнике одна сторона

25

см, другая

10

см. Какая из них основание? в) Найдите третью сторону равнобедренного треугольника, если две другие равны

8

см и

2

см.

а) Наибольшая сторона $2{,}4 > 1{,}2 + 1 = 2{,}2$ — не существует.
б) Если основание $25$ , боковые по $10$ : $25 > 10 + 10$ — невозможно. Значит, основание $10$ см, боковые по $25$ см ( $25 < 25 + 10$ — верно).
в) Стороны $2, 2, 8$ невозможны ( $8 > 4$ ), а $8, 8, 2$ — возможны. Третья сторона $8$ см.

Ответ: а) нет; б) $10$ см; в) $8$ см

ОГЭ, задание 19Пример 3

Какие из следующих утверждений верны? 1) Треугольника со сторонами

1, 2, 4

не существует. 2) Смежные углы равны. 3) Все диаметры окружности равны между собой. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

1) Верно: $4 > 1 + 2$ — неравенство треугольника нарушено.
2) Неверно: смежные углы в сумме $180^\circ$ , равны только прямые.
3) Верно: каждый диаметр равен двум радиусам.

Ответ: 13

Главное

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Гипотенуза больше катета; если два угла равны — треугольник равнобедренный.
Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других и больше их разности.
Проверка существования: наибольшая сторона меньше суммы двух других.

Соотношения между сторонами и углами

Все уроки станции «Соотношения в треугольнике»