Прямоугольные треугольники

Сумма всех углов $180^\circ$, прямой угол — $90^\circ$, на два острых остаётся $90^\circ$.

Поэтому в прямоугольном треугольнике достаточно знать один острый угол: второй равен $90^\circ$ минус первый.

Доказательство. Пусть $AC = \dfrac12 BC$. Приложим равный $\triangle ABD$, как на рисунке выше: $DC = 2AC = BC$, и $BD = BC$ — треугольник $BCD$ равносторонний.

Его углы равны $60^\circ$, в частности $\angle DBC = 60^\circ$. Но $\angle DBC = 2\angle ABC$, поэтому $\angle ABC = 30^\circ$.

• По двум катетам — следует из первого признака: угол между катетами прямой у обоих.
• По катету и прилежащему острому углу — из второго признака.
• По гипотенузе и острому углу. Другие острые углы тоже равны (дополняют до $90^\circ$), и треугольники равны по второму признаку — по гипотенузе и двум прилежащим к ней углам.
• По гипотенузе и катету — доказывается отдельно (следующий слайд).

Доказательство. Пусть $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$, $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$. Наложим треугольники так, чтобы $C$ совпала с $C_1$, а стороны $CA$ и $CB$ легли на лучи $C_1A_1$ и $C_1B_1$. Тогда $B$ совпадёт с $B_1$.

Если бы $A$ попала в другую точку $A_2$ луча $C_1A_1$, получился бы равнобедренный $\triangle A_1B_1A_2$ ($B_1A_1 = B_1A_2$) с неравными углами при основании: один острый, другой тупой. Это невозможно — значит, $A$ совпадёт с $A_1$.

Два зеркала под прямым углом. Луч падает на первое зеркало под углом $\alpha$, отражается под тем же углом, приходит ко второму зеркалу под углом $90^\circ - \alpha$ (острые углы прямоугольного треугольника) и отражается под ним же.

Угол между падающим и первым отражённым лучом $180^\circ - 2\alpha$, между первым и вторым отражённым — $2\alpha$: в сумме $180^\circ$. Это односторонние углы — отражённый луч параллелен падающему.

Такие отражатели стоят на велосипедах; один был доставлен на Луну — по лазерному лучу, вернувшемуся назад, с высокой точностью измерили расстояние до Луны.

1. а) Прямой угол — при вершине (при основании углы острые), острые углы равны и в сумме $90^\circ$: $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$.
2. б) $\angle E = \dfrac{180^\circ - 54^\circ}{2} = 63^\circ$.
3. $\triangle CFE$ прямоугольный: $\angle ECF = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ$.

1. а) Другой острый угол $30^\circ$, против него — меньший катет, он равен $\dfrac c2$. $\ c + \dfrac c2 = 26{,}4$, $c = 17{,}6$ см.
2. б) $\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, тогда $\angle B = 30^\circ$ и $AC = \dfrac{AB}{2}$.
3. $\dfrac{AB}{2} + AB = 18$: $AB = 12$ см, $AC = 6$ см.

1. Пусть $AB = BC$, $\angle B = 120^\circ$, тогда $\angle A = \angle C = 30^\circ$. Высота $AH$ проведена к прямой $BC$.
2. В прямоугольном $\triangle AHC$ катет $AH = 9$ лежит против угла $C = 30^\circ$, гипотенуза — основание $AC$.
3. $AC = 2 \cdot AH = 18$ см.

• Острые углы прямоугольного треугольника в сумме $90^\circ$.
• Катет против $30^\circ$ равен половине гипотенузы — и обратно.
• Признаки равенства: два катета; катет и прилежащий угол; гипотенуза и острый угол; гипотенуза и катет.
• В задачах с углом $120^\circ$ или $150^\circ$ ищите прямоугольный треугольник с углом $30^\circ$.