Построение треугольника по трём элементам

Пусть $AH$ — перпендикуляр из $A$ к прямой $a$, $M$ — другая точка прямой. Отрезок $AM$ называется наклонной.

В прямоугольном $\triangle AHM$ катет $AH$ меньше гипотенузы $AM$: перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра из этой точки к прямой. Это наименьшее из расстояний от точки до точек прямой.

Доказательство. Пусть $a \parallel b$, $AB \perp b$, $X$ — любая точка $a$, $XY \perp b$ (тогда и $XY \perp a$).

Прямоугольные $\triangle ABY$ и $\triangle YXA$ равны по гипотенузе и острому углу: $AY$ общая, $\angle 1 = \angle 2$ (накрест лежащие). Поэтому $XY = AB$.

Это расстояние называется расстоянием между параллельными прямыми. Верно и обратное: точки по одну сторону от прямой на одном расстоянии от неё лежат на параллельной ей прямой — так работает столярный рейсмус.

• По двум сторонам и углу между ними. На прямой откладываем $AB$, строим угол $BAM$, равный данному, на луче $AM$ откладываем $AC$. Решение есть всегда и единственно (с точностью до равенства — первый признак).
• По стороне и двум прилежащим углам — аналогично, по второму признаку.
• По трём сторонам. Откладываем $AB$, строим окружности с центром $A$ радиуса $CA$ и с центром $B$ радиуса $BC$; их точка пересечения — $C$.
• Третья задача не всегда имеет решение: если один отрезок не меньше суммы двух других, окружности не пересекутся — нарушено неравенство треугольника.