Функции · 11 класс · урок 1 из 7 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 11», § 4–5, п. 4.1–4.2

Понятие производной. Геометрический смысл

Выход к заданиям: ЕГЭ №9, ЕГЭ №17

Сначала нужно знать: Предел функции и непрерывность
Зачем этот урок: ЕГЭ №9: значение производной по касательной, касательная к графику, скорость точки
Дальше: Правила дифференцирования

Производная · урок 1

Понятие производной

Мгновенная скорость, касательная, уравнение касательной

Три задачи — одна операция

Скорость. Точка движется по закону $s(t) = 4t^2$ . Средняя скорость на $[t; t + \Delta t]$ : $v_{\text{ср}} = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{4(t + \Delta t)^2 - 4t^2}{\Delta t} = 8t + 4\Delta t$ . При $\Delta t \to 0$ она стремится к $8t$ — это мгновенная скорость.
Касательная. Секущая через $A(x; f(x))$ и $C(x + \Delta x; f(x + \Delta x))$ имеет наклон $\operatorname{tg}\beta = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ . Если при $\Delta x \to 0$ это отношение стремится к числу $k$ , секущая поворачивается к прямой через $A$ с наклоном $k$ — касательной.
Сила тока. Заряд $Q = f(t)$ ; средняя сила тока $\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$ , мгновенная — предел при $\Delta t \to 0$ .
Во всех трёх задачах ищется предел отношения приращения функции к приращению аргумента — эту операцию называют дифференцированием.

Определение производной

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

$\Delta x$ — приращение аргумента, $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$ — приращение функции. Пример: для $f(x) = x^2$ $\Delta f = (2x + \Delta x)\Delta x$ .
Производная функции в точке — предел отношения $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ при $\Delta x \to 0$ (если он существует). Обозначения: $f'(x)$ , $y'$ , $\dfrac{dy}{dx}$ .
Если производная есть в каждой точке интервала, она сама — функция на этом интервале.
Пределы при $\Delta x > 0$ и $\Delta x < 0$ — правая и левая производные.

Производные простейших функций

$f(x)$	$\Delta f$	$\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$	$f'(x)$
$x$	$\Delta x$	$1$	$1$
$C$	$0$	$0$	$0$
$kx + b$	$k\Delta x$	$k$	$k$
$x^2$	$(2x + \Delta x)\Delta x$	$2x + \Delta x$	$2x$
$ax^2 + bx + c$	$(2ax + b + a\Delta x)\Delta x$	$2ax + b + a\Delta x$	$2ax + b$

Точка, движущаяся по закону $s = kt + b$ , имеет постоянную скорость $k$ — движение равномерное.
Производная суммы (теорема 1): $(u + v)' = u' + v'$ . Доказательство: $\Delta f = \Delta u + \Delta v$ , $\dfrac{\Delta f}{\Delta x} = \dfrac{\Delta u}{\Delta x} + \dfrac{\Delta v}{\Delta x} \to u' + v'$ . Так же $(u - v)' = u' - v'$ .

Механический и геометрический смысл

Механический смысл: если $s = f(t)$ — путь, то скорость $v(t) = f'(t)$ .
Геометрический смысл: $f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha$ , где $\alpha$ — угол между касательной в точке $x_0$ и положительным направлением оси $Ox$ (угол наклона касательной); $f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной.
Пример. $f(x) = 0{,}5x^2 - 2x + 4$ : $f'(x) = x - 2$ , $f'(0) = -2$ — касательная в точке $x = 0$ имеет наклон $-2$ .
По рисунку: $f'(x_0) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ между двумя узлами сетки на касательной; убывающая касательная — отрицательная производная.

Уравнение касательной

y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

Касательная в точке $x_0$ — прямая через $(x_0; f(x_0))$ с угловым коэффициентом $k = f'(x_0)$ : $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ .
Касательная параллельна прямой $y = kx + b$ , если $f'(x_0) = k$ ; параллельна оси $Ox$ — если $f'(x_0) = 0$ .
Прямая $y = kx + b$ касается графика в точке $x_0$ , если одновременно $f'(x_0) = k$ и $f(x_0) = kx_0 + b$ — система из двух условий.

Никольский, № 4.10, 4.11Пример 1

а) Точка движется по закону

s = t^2 - 4t

. Выразите скорость, найдите её при

t = 5

и момент, когда она равна

0

. б)

f(x) = x^2 - 6x + 11

. Найдите тангенс угла наклона касательной в точках

x = -1;\ 0;\ 2

и значения

x

, где он равен

0;\ 1;\ 3

а) $v = s' = 2t - 4$ ; $v(5) = 6$ ; $2t - 4 = 0$ при $t = 2$ .
б) $f'(x) = 2x - 6$ : $f'(-1) = -8$ , $f'(0) = -6$ , $f'(2) = -2$ .
$2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ ; $= 1 \Rightarrow x = 3{,}5$ ; $= 3 \Rightarrow x = 4{,}5$ .

Ответ: а) $v = 2t - 4$ , $6$ , $t = 2$ ; б) $-8,\ -6,\ -2$ ; $x = 3;\ 3{,}5;\ 4{,}5$

Никольский, № 5.20Пример 2

Напишите уравнение касательной к графику

f(x) = x^2 + 2x - 3

в точке

x_0 = 0

и в точке

x_0 = 1

$f'(x) = 2x + 2$ .
$x_0 = 0$ : $f(0) = -3$ , $f'(0) = 2$ , $y = -3 + 2x$ .
$x_0 = 1$ : $f(1) = 0$ , $f'(1) = 4$ , $y = 4(x - 1) = 4x - 4$ .

Ответ: $y = 2x - 3$ ; $\ y = 4x - 4$

ЕГЭ, задание 9Пример 3

На рисунке изображён график функции

y = f(x)

и касательная к нему в точке с абсциссой

x_0

. Найдите значение производной функции

f(x)

в точке

x_0

$f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной. Касательная проходит через узлы $(-2; -4)$ и $(1; 2)$ .
$k = \dfrac{2 - (-4)}{1 - (-2)} = \dfrac63 = 2$ .

Ответ: 2

ЕГЭ, задание 9Пример 4

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x(t) = 6t^2 - 48t + 17

(

x

— в метрах,

t

— в секундах с начала движения). Найдите её скорость (в м/с) в момент

t = 9

с.

$v(t) = x'(t) = 12t - 48$ .
$v(9) = 108 - 48 = 60$ .

Ответ: 60

ЕГЭ, задание 9Пример 5

Прямая

y = 3x + 4

является касательной к графику функции

y = 3x^2 - 3x + c

. Найдите

c

Наклон: $6x_0 - 3 = 3$ , $x_0 = 1$ .
Общая точка: $3 - 3 + c = 3 \cdot 1 + 4$ , $c = 7$ .

Ответ: 7

ЕГЭ, задание 9Пример 6

Прямая

y = 7x - 5

параллельна касательной к графику функции

y = x^2 + 6x - 8

. Найдите абсциссу точки касания.

Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты: $f'(x_0) = 7$ .
$2x_0 + 6 = 7$ , $x_0 = 0{,}5$ .

Ответ: 0,5

Главное

$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ .
$v = s'(t)$ ; $f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha$ — наклон касательной.
Касательная: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ ; параллельность — равенство наклонов.
$(kx + b)' = k$ , $(x^2)' = 2x$ , $(u \pm v)' = u' \pm v'$ .

Понятие производной. Геометрический смысл

Все уроки станции «Производная»