Функции · 11 класс · урок 7 из 7 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 11», § 4–5, практикум к ЕГЭ №17

Задачи на оптимизацию

Выход к заданиям: ЕГЭ №9, ЕГЭ №17

Сначала нужно знать: Построение графиков с помощью производной
Зачем этот урок: ЕГЭ №17: задачи на оптимальный выбор; прикладные задачи на наибольшее и наименьшее
Дальше: Первообразная

Производная · урок 7

Наибольшее и наименьшее в прикладных задачах

Как решать

1) Выбрать переменную $x$ , через которую выражается всё остальное, и найти её допустимые значения (отрезок или промежуток).
2) Записать целевую функцию — величину, которую нужно сделать наибольшей или наименьшей.
3) Найти её наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке: производная, критические точки, концы.
4) Если переменная по смыслу целая (люди, станки, изделия), сравнить значения в ближайших целых точках.
5) Вернуться к вопросу задачи: иногда спрашивают не значение, а при каком $x$ оно достигается.

Никольский, № 5.91, 5.93Пример 1

а) Найдите два положительных числа с суммой

1

и наибольшим произведением. б) В параболу

y = 3 - x^2

вписан прямоугольник наибольшей площади (сторона на оси

Ox

, две вершины на параболе). Определите его стороны.

а) $P(x) = x(1 - x)$ , $P' = 1 - 2x = 0$ , $x = \dfrac12$ — максимум. Числа $\dfrac12$ и $\dfrac12$ .
б) Вершины $(\pm a; 3 - a^2)$ , $0 < a < \sqrt3$ : $S(a) = 2a(3 - a^2) = 6a - 2a^3$ .
$S' = 6 - 6a^2 = 0$ , $a = 1$ — максимум. Стороны $2a = 2$ и $3 - a^2 = 2$ .

Ответ: а) $\dfrac12$ и $\dfrac12$ ; б) $2$ и $2$

Никольский, № 5.97Пример 2

Диагональ прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием равна

3\sqrt3

, а высота принимает значения из отрезка

[1{,}5; 3{,}5]

. Найдите параллелепипед наибольшего объёма.

Сторона основания $a$ , высота $h$ : $2a^2 + h^2 = 27$ , $V(h) = a^2h = \dfrac{h(27 - h^2)}{2}$ .
$V' = \dfrac{27 - 3h^2}{2} = 0$ , $h = 3 \in [1{,}5; 3{,}5]$ — максимум; $V(3) = 27$ .
Концы: $V(1{,}5) \approx 18{,}6$ , $V(3{,}5) \approx 25{,}8$ — меньше. $a^2 = 9$ , $a = 3$ : это куб.

Ответ: куб с ребром $3$ , $V = 27$

Никольский, № 5.98Пример 3

Корабль стоит в

9

км от ближайшей точки

B

прямого берега, лагерь — на берегу в

15

км от

B

. Курьер гребёт со скоростью

4

км/ч и идёт пешком со скоростью

5

км/ч. Где ему пристать, чтобы попасть в лагерь быстрее всего?

Пристать в точке $P$ на расстоянии $x$ от $B$ ( $0 \le x \le 15$ ): $T(x) = \dfrac{\sqrt{81 + x^2}}{4} + \dfrac{15 - x}{5}$ .
$T' = \dfrac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} - \dfrac15 = 0$ : $5x = 4\sqrt{81 + x^2}$ , $9x^2 = 1296$ , $x = 12$ .
$T(12) = \dfrac{15}{4} + \dfrac35 = 4{,}35$ ч; $T(0) = 5{,}25$ , $T(15) = \dfrac{\sqrt{306}}{4} \approx 4{,}37$ — больше.

Ответ: в $12$ км от $B$ (в $3$ км от лагеря)

ЕГЭ, задание 17Пример 4

В бригаде

24

рабочих, их распределяют на два объекта. Если на первом работает

t

человек, их суточная зарплата

4t^2

у. е., если на втором

t

человек —

t^2

у. е. Как распределить рабочих, чтобы выплаты были наименьшими? Сколько придётся заплатить?

$x$ человек на первом, $24 - x$ на втором: $S(x) = 4x^2 + (24 - x)^2$ .
$S' = 8x - 2(24 - x) = 10x - 48 = 0$ , $x = 4{,}8$ — минимум, но $x$ целое.
$S(4) = 64 + 400 = 464$ , $S(5) = 100 + 361 = 461$ . Наименьшее — при $5$ и $19$ рабочих.

Ответ: $5$ и $19$ человек, $461$ у. е.

Главное

Все уроки станции «Производная»