Функции · 11 класс · урок 3 из 7 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 11», § 4–5, п. 5.1–5.3

Возрастание и убывание функции

Выход к заданиям: ЕГЭ №9, ЕГЭ №17

Сначала нужно знать
Правила дифференцирования
Зачем этот урок
ЕГЭ №9: знак производной по графику функции и промежутки монотонности по графику производной
Дальше
Экстремумы функции
Производная · урок 3
Возрастание и убывание функции
Теорема Лагранжа и знак производной
Теоремы Ролля и Лагранжа
  • Теорема Ролля. Если функция непрерывна на [a;b][a; b], имеет производную внутри и f(a)=f(b)f(a) = f(b), то внутри отрезка есть точка cc, где f′(c)=0f'(c) = 0 — касательная горизонтальна.
  • Теорема Лагранжа. Если ff непрерывна на [a;b][a; b] и имеет производную внутри, то найдётся c∈(a;b)c \in (a; b): f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).
  • Геометрически: на дуге графика есть точка, где касательная параллельна хорде, соединяющей концы дуги.
  • Механически: на любом участке пути есть момент, когда мгновенная скорость равна средней.
Знак производной и монотонность
  • Теорема. Если f′(x)>0f'(x) > 0 во всех внутренних точках промежутка (и ff непрерывна на нём), то ff возрастает на этом промежутке; если f′(x)<0f'(x) < 0 — убывает.
  • Доказательство. Возьмём x1<x2x_1 < x_2 из промежутка. По Лагранжу f(x2)−f(x1)=f′(c)(x2−x1)f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1); при f′(c)>0f'(c) > 0 разность положительна.
  • Если f′(x)=0f'(x) = 0 на всём промежутке, функция постоянна.
  • Отдельные точки с f′(x)=0f'(x) = 0 не мешают: y=x3y = x^3 возрастает на R\mathbb R, хотя y′(0)=0y'(0) = 0.
  • Обратно: у возрастающей дифференцируемой функции f′(x)≥0f'(x) \ge 0.
Как найти промежутки монотонности
  • 1) Найти область определения. 2) Найти f′(x)f'(x). 3) Найти критические точки: где f′=0f' = 0 или не существует.
  • 4) Отметить их на оси и определить знак f′f' на каждом промежутке (метод интервалов). 5) f′>0f' > 0 — возрастает, f′<0f' < 0 — убывает.
  • Концы промежутков, где функция непрерывна, включаем: y=x3−6x2+9x−1y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1 возрастает на (−∞;1](-\infty; 1] и [3;+∞)[3; +\infty) (№ 5.55).
  • По графику ff: f′>0f' > 0 там, где график идёт вверх; f′<0f' < 0 — где вниз; в вершинах f′=0f' = 0.
  • По графику f′f': ff возрастает, где график f′f' выше оси OxOx, убывает — где ниже; сам вид графика f′f' (подъёмы и спуски) о монотонности ff ничего не говорит.
Никольский, № 5.57Пример 1
Найдите критические точки, промежутки возрастания и убывания функции: а) y=2x3−3x2−12x+6y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 6; б) y=x2−2ln⁡xy = x^2 - 2\ln x.
  1. а) y′=6x2−6x−12=6(x−2)(x+1)y' = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 2)(x + 1); критические точки −1-1 и 22.
  2. y′>0y' > 0 на (−∞;−1)(-\infty; -1) и (2;+∞)(2; +\infty), y′<0y' < 0 на (−1;2)(-1; 2): возрастает на (−∞;−1](-\infty; -1] и [2;+∞)[2; +\infty), убывает на [−1;2][-1; 2].
  3. б) x>0x > 0; y′=2x−2x=2(x−1)(x+1)xy' = 2x - \dfrac2x = \dfrac{2(x - 1)(x + 1)}{x}; критическая точка 11.
  4. Убывает на (0;1](0; 1], возрастает на [1;+∞)[1; +\infty).
Ответ: а) ↑(−∞;−1]\uparrow (-\infty; -1], [2;+∞)[2; +\infty); ↓[−1;2]\downarrow [-1; 2]; б) ↓(0;1]\downarrow (0; 1], ↑[1;+∞)\uparrow [1; +\infty)
ЕГЭ, задание 9Пример 2
Oxyy = f(x)1−681
На рисунке изображён график функции y=f(x)y = f(x), определённой на интервале (−6;8)(-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
  1. f′>0f' > 0 там, где функция возрастает: на (−3;0)(-3; 0) и на (4,5;7)(4{,}5; 7).
  2. В вершинах x=−3x = -3, 00, 77 производная равна 00 — их не считаем.
  3. Целые точки: −2,−1-2, -1 и 5,65, 6 — всего четыре.
Ответ: 4
ЕГЭ, задание 9Пример 3
Oxyy = f′(x)−8141
На рисунке изображён график производной функции f(x)f(x), определённой на интервале (−8;4)(-8; 4). В какой точке отрезка [−7;−3][-7; -3] f(x)f(x) принимает наименьшее значение?
  1. На отрезке [−7;−3][-7; -3] график f′f' лежит выше оси OxOx: f′(x)>0f'(x) > 0.
  2. Значит, ff возрастает на этом отрезке, и наименьшее значение — в левом конце.
Ответ: -7
Главное
  • Лагранж: f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).
  • f′>0f' > 0 — возрастает, f′<0f' < 0 — убывает, f′≡0f' \equiv 0 — постоянна.
  • Промежутки монотонности — метод интервалов для знака f′f'.
  • По графику f′f' смотрим на знак (выше/ниже оси), а не на подъёмы графика.

Все уроки станции «Производная»

  1. Понятие производной. Геометрический смысл
  2. Правила дифференцирования
  3. Возрастание и убывание функции
  4. Экстремумы функции
  5. Наибольшее и наименьшее значение
  6. Построение графиков с помощью производной
  7. Задачи на оптимизацию