Функции · 11 класс · урок 6 из 7 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 11», § 4–5, п. 5.11

Построение графиков с помощью производной

Выход к заданиям: ЕГЭ №9, ЕГЭ №17

Производная · урок 6

План исследования, выпуклость, асимптоты

План исследования функции

1) Область определения, чётность, периодичность. 2) Нули и знаки функции.
3) Производная, критические точки, промежутки монотонности, экстремумы.
4) Поведение у концов области и у точек разрыва (асимптоты).
5) Вторая производная: $f'' > 0$ — график выпуклый вниз, $f'' < 0$ — вверх; точки, где выпуклость меняется, — точки перегиба.
6) Таблица значений в ключевых точках и эскиз графика.

Асимптоты

Прямая — асимптота, если точки графика при удалении в бесконечность неограниченно к ней приближаются.
Вертикальная $x = a$ : $f(x) \to \pm\infty$ при $x \to a$ . Горизонтальная $y = b$ : $f(x) \to b$ при $x \to \pm\infty$ .
Наклонная $y = kx + b$ : $k = \lim \dfrac{f(x)}{x}$ , $b = \lim (f(x) - kx)$ .
Дробно-линейная функция $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ( $c \ne 0$ ) — гипербола с асимптотами $x = -\dfrac dc$ и $y = \dfrac ac$ ; производная $\dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}$ сохраняет знак — на каждом промежутке функция монотонна.

Никольский, № 5.114Пример 1

Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию

y = x^4 - 2x^2 + 3

и постройте её график.

Функция чётная. $y' = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1)$ ; критические точки $-1, 0, 1$ .
Знаки $y'$ : $-, +, -, +$ . Минимумы в $\pm1$ : $y = 2$ ; максимум в $0$ : $y = 3$ .
$y'' = 12x^2 - 4$ : перегибы в $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt3}$ . При $|x| \to \infty$ $y \to +\infty$ .

Ответ: $\downarrow (-\infty; -1]$ , $[0; 1]$ ; $\uparrow [-1; 0]$ , $[1; +\infty)$ ; $y_{\min} = 2$ , $y_{\max} = 3$

Никольский, № 5.117Пример 2

Исследуйте функцию

y = (x^2 - 1)^2

и постройте её график.

Чётная, $y \ge 0$ , нули $\pm1$ . $y' = 2(x^2 - 1) \cdot 2x = 4x(x - 1)(x + 1)$ .
Минимумы в $\pm1$ ( $y = 0$ ), максимум в $0$ ( $y = 1$ ).
$y'' = 12x^2 - 4$ — перегибы в $\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$ , значение там $\dfrac49$ . График — «буква W».

Ответ: $y_{\min} = 0$ при $x = \pm1$ , $y_{\max} = 1$ при $x = 0$

ЕГЭ, задание 9Пример 3

На рисунке изображён график производной функции

f(x)

, определённой на интервале

(-10; 2)

. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции

f(x)

параллельна прямой

y = -2x - 11

или совпадает с ней.

Касательная параллельна прямой с наклоном $-2$ , если $f'(x_0) = -2$ .
Считаем пересечения графика $y = f'(x)$ с горизонтальной прямой $y = -2$ : их пять.

Ответ: 5

Главное

Исследование: область, чётность, нули, $f'$ и экстремумы, асимптоты, $f''$ и выпуклость.
$f'' > 0$ — выпуклость вниз, $f'' < 0$ — вверх, смена знака — перегиб.
По графику $f'$ : значения $f'$ — наклоны касательных к графику $f$ .
Касательная с наклоном $k$ — пересечения графика $f'$ с прямой $y = k$ .

Все уроки станции «Производная»