Функции · 11 класс · урок 5 из 7 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 11», § 4–5, п. 5.9

Наибольшее и наименьшее значение

Выход к заданиям: ЕГЭ №9, ЕГЭ №17

Сначала нужно знать
Экстремумы функции
Зачем этот урок
ЕГЭ №9: наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Дальше
Построение графиков с помощью производной
Производная · урок 5
Наибольшее и наименьшее значение
Функция на отрезке: концы и критические точки
Алгоритм для отрезка
Oxy−123−4
  • Непрерывная на отрезке функция достигает на нём наибольшего и наименьшего значений (теорема Вейерштрасса).
  • Если наибольшее значение достигается внутри отрезка, то там максимум, и по теореме Ферма f′=0f' = 0 или производной нет. Иначе — на конце.
  • Алгоритм: 1) найти f′f'; 2) найти критические точки внутри отрезка; 3) вычислить ff в них и на концах; 4) выбрать наибольшее и наименьшее.
  • На рисунке y=x3−3x2y = x^3 - 3x^2 на [−1;3][-1; 3]: y(−1)=−4y(-1) = -4, y(0)=0y(0) = 0, y(2)=−4y(2) = -4, y(3)=0y(3) = 0 — наибольшее 00, наименьшее −4-4.
Как сократить работу
  • Монотонность. Если f′>0f' > 0 на отрезке — наибольшее значение в правом конце, наименьшее — в левом (и наоборот). Пример: y=5cos⁡x−6x+4y = 5\cos x - 6x + 4: y′=−5sin⁡x−6≤−1<0y' = -5\sin x - 6 \le -1 < 0.
  • Единственная критическая точка внутри: если это минимум, он и есть наименьшее значение — концы можно не считать.
  • Замена. y=e2x−4ex+6y = e^{2x} - 4e^x + 6: при t=ext = e^x получаем квадратный трёхчлен t2−4t+6t^2 - 4t + 6.
  • В ЕГЭ ответ — целое число или конечная дробь: если в критической точке значение «некрасивое» (ln⁡3\ln 3, π\pi), скорее всего, она не нужна — проверьте знак производной.
Никольский, № 5.10, 5.13Пример 1
Найдите наибольшее и наименьшее значения: а) y=x3−3x2y = x^3 - 3x^2 на [−1;3][-1; 3]; б) y=x+ln⁡(−x)y = x + \ln(-x) на [−4;−0,5][-4; -0{,}5].
  1. а) y′=3x(x−2)y' = 3x(x - 2); критические точки 00 и 22; y(−1)=−4y(-1) = -4, y(0)=0y(0) = 0, y(2)=−4y(2) = -4, y(3)=0y(3) = 0.
  2. б) y′=1+1x=x+1xy' = 1 + \dfrac1x = \dfrac{x + 1}{x}; критическая точка −1-1: y(−1)=−1y(-1) = -1.
  3. y(−4)=−4+ln⁡4≈−2,61y(-4) = -4 + \ln 4 \approx -2{,}61; y(−0,5)=−0,5−ln⁡2≈−1,19y(-0{,}5) = -0{,}5 - \ln 2 \approx -1{,}19.
Ответ: а) 00 и −4-4; б) −1-1 и ln⁡4−4\ln 4 - 4
ЕГЭ, задание 9Пример 2
Найдите наименьшее значение функции y=x3−75x+5y = x^3 - 75x + 5 на отрезке [0;6][0; 6].
  1. y′=3x2−75y' = 3x^2 - 75; на отрезке критическая точка x=5x = 5 (минимум: знак «−» → «+»).
  2. Единственный минимум на отрезке — наименьшее значение: y(5)=125−375+5=−245y(5) = 125 - 375 + 5 = -245.
Ответ: -245
ЕГЭ, задание 9Пример 3
Найдите наименьшее значение функции y=4x−4ln⁡(x+7)+6y = 4x - 4\ln(x + 7) + 6 на отрезке [−6,5;0][-6{,}5; 0].
  1. y′=4−4x+7=4(x+6)x+7y' = 4 - \dfrac{4}{x + 7} = \dfrac{4(x + 6)}{x + 7}; критическая точка −6-6, знак «−» → «+»: минимум.
  2. y(−6)=−24−4ln⁡1+6=−18y(-6) = -24 - 4\ln 1 + 6 = -18.
Ответ: -18
ЕГЭ, задание 9Пример 4
Найдите наименьшее значение функции y=5cos⁡x−6x+4y = 5\cos x - 6x + 4 на отрезке [−3π2;0]\left[-\dfrac{3\pi}{2}; 0\right].
  1. y′=−5sin⁡x−6≤5−6<0y' = -5\sin x - 6 \le 5 - 6 < 0 — функция убывает на всём отрезке.
  2. Наименьшее значение в правом конце: y(0)=5−0+4=9y(0) = 5 - 0 + 4 = 9.
Ответ: 9
ЕГЭ, задание 9Пример 5
Найдите наименьшее значение функции y=e2x−4ex+6y = e^{2x} - 4e^x + 6 на отрезке [0;3][0; 3].
  1. y′=2e2x−4ex=2ex(ex−2)y' = 2e^{2x} - 4e^x = 2e^x(e^x - 2); критическая точка x=ln⁡2∈[0;3]x = \ln 2 \in [0; 3], знак «−» → «+»: минимум.
  2. y(ln⁡2)=4−8+6=2y(\ln 2) = 4 - 8 + 6 = 2.
Ответ: 2
Главное
  • Наибольшее и наименьшее на отрезке — среди значений на концах и в критических точках внутри.
  • Монотонная на отрезке функция — ответ на конце.
  • Единственный экстремум на промежутке — он и есть наибольшее (наименьшее) значение.
  • Замена t=ext = e^x, t=sin⁡xt = \sin x сводит задачу к знакомой функции.

Все уроки станции «Производная»

  1. Понятие производной. Геометрический смысл
  2. Правила дифференцирования
  3. Возрастание и убывание функции
  4. Экстремумы функции
  5. Наибольшее и наименьшее значение
  6. Построение графиков с помощью производной
  7. Задачи на оптимизацию