Правила дифференцирования

Теорема. Если $u$ и $v$ имеют производные в точке $x$, то и $uv$ имеет: $(uv)' = u'v + uv'$.

Доказательство. $\Delta(uv) = (u + \Delta u)(v + \Delta v) - uv = \Delta u \cdot v + u \cdot \Delta v + \Delta u \Delta v$. Делим на $\Delta x$: $\dfrac{\Delta u}{\Delta x}v + u\dfrac{\Delta v}{\Delta x} + \dfrac{\Delta u}{\Delta x}\Delta v \to u'v + uv' + u' \cdot 0$ ($\Delta v \to 0$, функция с производной непрерывна).

Следствие: $(Cu)' = Cu'$ — постоянный множитель выносится.

Частное (при $v(x) \ne 0$): $\left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$; в частности, $\left(\dfrac1v\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$.

• $(x^n)' = nx^{n-1}$ доказывается по правилу произведения индукцией; для $x^{-n}$ — по правилу частного.
• $(\sin x)' = \cos x$ следует из $\sin(x + \Delta x) - \sin x = 2\sin\dfrac{\Delta x}{2}\cos\left(x + \dfrac{\Delta x}{2}\right)$ и $\dfrac{\sin t}{t} \to 1$; $\operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ — по правилу частного.

• Сложная функция $y = f(u)$, $u = g(x)$: сначала производная «внешней» функции по $u$, затем умножаем на производную «внутренней».
• Линейная замена: $\bigl(f(kx + b)\bigr)' = k\,f'(kx + b)$. Например, $(\sin 2x)' = 2\cos 2x$, $(e^{3x})' = 3e^{3x}$, $\bigl(\ln(5 - 2x)\bigr)' = \dfrac{-2}{5 - 2x}$.
• Степень функции: $\bigl(u^n\bigr)' = nu^{n - 1}u'$: $\bigl((2x + 1)^8\bigr)' = 16(2x + 1)^7$.
• Корень: $\bigl(\sqrt{u}\bigr)' = \dfrac{u'}{2\sqrt u}$; логарифм: $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.

1. а) $y' = (2x + 3)(x - 1) + (x^2 + 3x) \cdot 1 = 2x^2 + x - 3 + x^2 + 3x = 3x^2 + 4x - 3$.
2. б) $y' = 28x^3 - 15x^2 - 1$.

1. а) $3e^{3x}$. б) $-3\sin(3x + 1)$.
2. в) $8(2x + 1)^7 \cdot 2 = 16(2x + 1)^7$. г) $\dfrac{2}{\cos^2(2x - 3)}$.

1. Наклон: $3x^2 + 14x + 7 = -4$, $3x^2 + 14x + 11 = 0$, $x = -1$ или $x = -\dfrac{11}{3}$.
2. Проверяем общую точку: $f(-1) = -1 + 7 - 7 - 6 = -7$ и $-4 \cdot (-1) - 11 = -7$ — совпало.
3. При $x = -\dfrac{11}{3}$ значения не совпадают — там касательная параллельна, но это другая прямая.

1. Наклон: $56x_0 + b = -5$, то есть $b = -5 - 56x_0$.
2. Общая точка: $28x_0^2 + bx_0 + 15 = -5x_0 + 8$. Подставим $b$: $28x_0^2 - 5x_0 - 56x_0^2 + 15 = -5x_0 + 8$, $28x_0^2 = 7$, $x_0 = \dfrac12$.
3. $b = -5 - 28 = -33$.

• $(uv)' = u'v + uv'$; $\left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$; $(Cu)' = Cu'$.
• Таблица: $x^n$, $\sqrt x$, $\dfrac1x$, $e^x$, $a^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\operatorname{tg} x$.
• Сложная функция: $(f(g))' = f'(g) \cdot g'$; $(f(kx + b))' = kf'(kx + b)$.
• Касание прямой $y = kx + b$: $f'(x_0) = k$ и $f(x_0) = kx_0 + b$.