Квадратный трёхчлен. Квадратное уравнение

Квадратный трёхчлен — многочлен из трёх членов: с $x^2$, с $x$ и без $x$. Буква $x$ — переменная, а $a$, $b$, $c$ — данные числа.

$a$ — коэффициент при $x^2$ (старший коэффициент), $b$ — коэффициент при $x$, $c$ — свободный член: он «свободен» от $x$.

Условие $a \ne 0$ обязательно: при $a = 0$ квадрата не останется, и выйдет уже не квадратный, а линейный многочлен $bx + c$.

• $2x^2 - 3x + 1$: $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$. Знак перед членом — часть коэффициента.
• $-x^2 + x + 1$: $a = -1$, $b = 1$. Единицу перед $x$ не пишут, но она есть.
• $3x^2 - 5$: члена с $x$ нет, значит, $b = 0$. В $x^2 - 4x$ нет свободного члена: $c = 0$.
• $5 - x^2 + 3x$: порядок не важен — сначала переставляем в $-x^2 + 3x + 5$, потом читаем: $a = -1$, $b = 3$, $c = 5$.

Сначала выносим $a$ за скобки из двух первых членов, потом выделяем квадрат внутри:

Число $D$ называют дискриминантом трёхчлена (от латинского discriminare — «различать»). Это просто число, которое считается по коэффициентам.

Пример: у $2x^2 + 5x + 3$ дискриминант $D = 5^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Зачем он нужен, станет ясно через урок: по знаку дискриминанта видно, сколько корней у уравнения. Пока — учимся его считать без ошибок в знаках: $b^2$ всегда неотрицательно, а $-4ac$ может быть и плюсом, и минусом.

Квадратное уравнение — уравнение, у которого слева квадратный трёхчлен, а справа ноль. Его ещё называют уравнением второй степени.

Корень уравнения — число, которое при подстановке вместо $x$ даёт верное числовое равенство. Решить уравнение — найти все его корни или показать, что их нет.

Если уравнение записано иначе, например $x^2 + 9x = -14$, сначала переносим всё в левую часть: $x^2 + 9x + 14 = 0$. При переносе знак члена меняется на противоположный.

1. Корень — то, что при подстановке даёт $0$ в левой части. Проверяем каждое число.
2. $x = -1$: $(-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$ — корень.
3. $x = -\dfrac13$: $\dfrac19 + \dfrac13 - 2 = \dfrac{1 + 3 - 18}{9} = -\dfrac{14}{9} \ne 0$. $x = 0$: $-2 \ne 0$. $x = 1$: $1 - 1 - 2 = -2 \ne 0$.
4. $x = 2$: $4 - 2 - 2 = 0$ — корень.

1. г) $a = 2$, $b = -5$, $c = -3$. $D = (-5)^2 - 4\cdot 2\cdot(-3) = 25 + 24 = 49$.
2. Минус на минус: $-4\cdot 2\cdot(-3) = +24$. Это самое частое место ошибки.
3. д) $a = 1$, $b = -4$, $c = 5$. $D = 16 - 20 = -4$.

1. $5x = 2\cdot\dfrac52\cdot x$, уголок — $\left(\dfrac52\right)^2 = 6{,}25$.
2. $x^2 + 5x - 6 = x^2 + 2\cdot 2{,}5\cdot x + 6{,}25 - 6{,}25 - 6 = (x + 2{,}5)^2 - 12{,}25$.

• $ax^2 + bx + c$: $a$ — при $x^2$, $b$ — при $x$, $c$ — свободный член; $a \ne 0$.
• Коэффициенты читаем вместе со знаком; отсутствующий член — коэффициент $0$.
• $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.
• Полный квадрат: $x^2 + bx = \left(x + \dfrac b2\right)^2 - \left(\dfrac b2\right)^2$.