Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ называют неполным, если $b = 0$ или $c = 0$ (или оба сразу).

Таких видов три: $ax^2 = 0$, $\;ax^2 + c = 0$, $\;ax^2 + bx = 0$. Каждый решается своим простым приёмом, формула корней не нужна.

• $ax^2 = 0$: делим на $a \ne 0$, получаем $x^2 = 0$. Квадрат равен нулю только у нуля: единственный корень $x = 0$.
• $ax^2 + c = 0$: переносим $c$ и делим на $a$: $x^2 = -\dfrac{c}{a}$.
• Если $-\dfrac{c}{a} > 0$ — два корня $x = \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$: квадрат числа и противоположного ему одинаков.
• Если $-\dfrac{c}{a} < 0$ — корней нет: квадрат числа не бывает отрицательным. Например, $x^2 + 7 = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому $x = 0$ или $ax + b = 0$, то есть $x = -\dfrac{b}{a}$.

У такого уравнения всегда два корня, и один из них — ноль.

Частая ошибка — поделить обе части на $x$. Так теряется корень $x = 0$: делить на выражение, которое может быть нулём, нельзя.

Уравнение вида $(x + 2)(-x + 6) = 0$ уже записано как произведение. Раскрывать скобки не нужно: приравниваем к нулю каждый множитель.

$x + 2 = 0$ или $-x + 6 = 0$, то есть $x = -2$ или $x = 6$.

Так решаются и уравнения вида $3(x - 5)(5 + x) = 0$: числовой множитель $3$ нулём не бывает, остаются две скобки.

1. $x^2 = 36$. Число $36$ положительное, корней два: $x = 6$ и $x = -6$.
2. Другой способ — разность квадратов: $(x - 6)(x + 6) = 0$.
3. Больший из корней — $6$.

1. Переносим всё влево: $10x^2 - 80x = 0$. Делить на $x$ нельзя — потеряем корень.
2. Выносим общий множитель: $10x(x - 8) = 0$, откуда $x = 0$ или $x = 8$.
3. Меньший из корней — $0$.

1. Произведение равно нулю: $x + 2 = 0$ или $-x + 6 = 0$.
2. $x = -2$ или $x = 6$. Меньший — $-2$.

1. е) $x^2 = -\dfrac25$ — квадрат не бывает отрицательным, корней нет.
2. ж) $x = \pm\sqrt{2304}$. $48^2 = 2304$ ($50^2 = 2500$, $48^2 = 2500 - 200 + 4$), поэтому $x = \pm 48$.

• $ax^2 = 0$ — один корень $0$.
• $ax^2 + c = 0$ сводится к $x^2 = -\dfrac{c}{a}$: два корня, если это число положительно, и ни одного, если отрицательно.
• $ax^2 + bx = 0$ — выносим $x$: корни $0$ и $-\dfrac{b}{a}$. На $x$ не делим.
• Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.