Приведённое уравнение. Теорема Виета

Приведённым называют квадратное уравнение с коэффициентом $1$ при $x^2$. Буквы $p$ и $q$ — привычные обозначения его коэффициентов.

Любое квадратное уравнение можно привести: поделить на $a$. Например, $3x^2 - 6x - 9 = 0$ превращается в $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Для приведённого уравнения формула корней проще: $x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q}$. Пример: $x^2 - 8x + 7 = 0$, $x = 4 \pm \sqrt{16 - 7} = 4 \pm 3$, корни $1$ и $7$.

Если у приведённого уравнения есть корни, то их сумма равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.

Почему: сложим корни из формулы — корни под знаком $\pm$ взаимно уничтожатся, останется $-\dfrac p2 - \dfrac p2 = -p$. Перемножим — по разности квадратов получится $\dfrac{p^2}{4} - \left(\dfrac{p^2}{4} - q\right) = q$.

Теорема названа по имени французского математика Франсуа Виета.

Верно и обратное: если числа $x_1$ и $x_2$ дают в сумме $-p$, а в произведении $q$, то они — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Поэтому корни часто находят устно: ищем два числа с нужным произведением и нужной суммой.

• Перебираем пары множителей свободного члена $q$.
• Если $q > 0$ — корни одного знака: оба со знаком числа $-p$.
• Если $q < 0$ — корни разных знаков.
• Пример: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Произведение $6$, сумма $5$: подходят $2$ и $3$.

• Почему: подставим $x = 1$ в $ax^2 + bx + c$ — получится $a + b + c$. Если эта сумма равна нулю, то $1$ — корень.
• Второй корень — по теореме Виета: $x_1x_2 = \dfrac ca$, а $x_1 = 1$, значит, $x_2 = \dfrac ca$.
• Так же $x = -1$ даёт $a - b + c$: если это ноль, корни $-1$ и $-\dfrac ca$.
• Пример: $345x^2 - 137x - 208 = 0$. $345 - 137 - 208 = 0$, поэтому корни $1$ и $-\dfrac{208}{345}$ — без дискриминанта с шестизначными числами.

Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ умножим на $a$ и обозначим $y = ax$: получим приведённое уравнение $y^2 + by + ac = 0$ — старший коэффициент «перебросили» к свободному члену.

Его корни подбираем по Виету, а потом делим на $a$: $x = \dfrac ya$.

Пример: $2x^2 - 11x + 15 = 0$. Переброска: $y^2 - 11y + 30 = 0$, корни $y = 5$ и $y = 6$ (сумма $11$, произведение $30$). Тогда $x = \dfrac52 = 2{,}5$ и $x = \dfrac62 = 3$.

1. Переносим влево: $x^2 + 9x + 14 = 0$. Уравнение приведённое: $p = 9$, $q = 14$.
2. Ищем два числа: произведение $14$, сумма $-9$. Произведение положительно, сумма отрицательна — оба числа отрицательные.
3. $14 = 2\cdot 7$, и $-2 + (-7) = -9$. Корни $-7$ и $-2$.
4. Проверка: $(-2)^2 + 9\cdot(-2) = 4 - 18 = -14$. Верно.

1. Сумма коэффициентов: $1 + 4 - 5 = 0$. Значит, один корень $x_1 = 1$.
2. Второй — по Виету: $x_1 x_2 = -5$, поэтому $x_2 = -5$.
3. Проверка: $25 - 20 - 5 = 0$.

1. а) Произведение $-2$ — корни разных знаков, сумма $1$. Подходят $2$ и $-1$.
2. б) Произведение $-24$, сумма $5$. Пары множителей $24$: $1\cdot 24$, $2\cdot 12$, $3\cdot 8$, $4\cdot 6$. Разность $5$ даёт только $3$ и $8$: $8 + (-3) = 5$. Корни $8$ и $-3$.

1. По теореме Виета $p = -(x_1 + x_2) = -(-2 + 3) = -1$, $q = x_1 x_2 = -6$.
2. Уравнение: $x^2 - x - 6 = 0$. Проверка: $(-2)^2 + 2 - 6 = 0$, $9 - 3 - 6 = 0$.

1. Корни иррациональные, но искать их не нужно. По теореме Виета $x_1 + x_2 = -3$, $x_1 x_2 = -1$.
2. Сумму квадратов выразим через сумму и произведение: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$, значит, $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
3. $(-3)^2 - 2\cdot(-1) = 9 + 2 = 11$.

• Приведённое уравнение $x^2 + px + q = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $1$.
• Виет: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$; верна и обратная теорема.
• Подбор: пары множителей $q$, знаки — по знакам $q$ и $p$.
• $a + b + c = 0$ — корни $1$ и $\dfrac ca$; $a - b + c = 0$ — корни $-1$ и $-\dfrac ca$.
• Выражения вроде $x_1^2 + x_2^2$ считаются через сумму и произведение, без самих корней.