Формула корней квадратного уравнения

Решаем $ax^2 + bx + c = 0$ в общем виде. Так как $a \ne 0$, делим обе части на $a$:

• Знаменатель $4a^2$ положителен, поэтому знак правой части — это знак $D$. Вот почему дискриминант «различает» случаи.
• $D > 0$: $x + \dfrac{b}{2a} = \pm\dfrac{\sqrt D}{2a}$ — два корня.
• $D = 0$: $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0$ — один корень $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• $D < 0$: слева квадрат, он не бывает отрицательным, а справа отрицательное число — корней нет.

• Запись $\pm$ — это две формулы сразу: с плюсом получается $x_1$, с минусом — $x_2$.
• При $D = 0$ обе дают одно и то же число — говорят, что корни совпадают.
• Порядок: перенести всё влево → выписать $a$, $b$, $c$ со знаками → посчитать $D$ → корни → посмотреть, что просят записать в ответ.

Если $b$ — чётное число, $b = 2k$, то $D = 4k^2 - 4ac = 4(k^2 - ac)$. Четвёрку выносим из-под корня: $\sqrt D = 2\sqrt{k^2 - ac}$, и двойка сокращается со знаменателем $2a$.

Числа получаются меньше. Пример: $x^2 - 8x + 7 = 0$, $k = -4$: $\dfrac D4 = 16 - 7 = 9$, $x = 4 \pm 3$, корни $1$ и $7$.

Пример: $3x^2 - 10x + 8 = 0$, $k = -5$: $\dfrac D4 = 25 - 24 = 1$, $x = \dfrac{5 \pm 1}{3}$, корни $2$ и $\dfrac43$.

Если у трёхчлена есть корни $x_1$ и $x_2$, он раскладывается на линейные множители — скобки вида $(x - \text{корень})$.

Например, у $2x^2 - 3x + 1$ корни $1$ и $\dfrac12$, поэтому $2x^2 - 3x + 1 = 2(x - 1)\left(x - \dfrac12\right)$.

При $D < 0$ так разложить нельзя. Это понадобится в задании №20 ОГЭ — для сокращения дробей.

1. $a = 1$, $b = -8$, $c = 12$. $D = 64 - 48 = 16$, $\sqrt D = 4$.
2. $x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 4}{2}$: $x_1 = 6$, $x_2 = 2$.
3. Больший из корней — $6$.

1. Переносим всё влево, меняя знаки: $7x^2 + 3x^2 - 20x + x + 19 - 10 = 0$, то есть $10x^2 - 19x + 9 = 0$.
2. $D = 19^2 - 4\cdot 10\cdot 9 = 361 - 360 = 1$.
3. $x_{1,2} = \dfrac{19 \pm 1}{20}$: $x_1 = 1$, $x_2 = 0{,}9$.

1. Все коэффициенты делятся на $4$ — сначала упростим: $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Корни те же, считать проще.
2. $D = 9 - 8 = 1$, $x_{1,2} = \dfrac{3 \pm 1}{4}$: $x_1 = 1$, $x_2 = 0{,}5$.
3. Меньший — $0{,}5$.

1. а) $D = 900 - 4\cdot 25\cdot 9 = 900 - 900 = 0$ — один корень $x = \dfrac{30}{50} = 0{,}6$. Это полный квадрат: $(5x - 3)^2 = 0$.
2. б) $D = 16 - 24 = -8 < 0$ — корней нет.

• Формула выводится выделением полного квадрата: $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{D}{4a^2}$.
• $D > 0$ — два корня, $D = 0$ — один, $D < 0$ — нет корней.
• $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a}$.
• Сначала всё влево и упростить (поделить на общий множитель), потом считать.