Уравнения и неравенства · 8 класс · урок 5 из 5 · Никольский, «Алгебра 8», § 4, п. 4.7

Задачи на квадратные уравнения

Выход к заданиям: ОГЭ №9, ОГЭ №20, ОГЭ №21, ЕГЭ №7, ЕГЭ №10, ЕГЭ №11, ЕГЭ №14, ЕГЭ №19

Сначала нужно знать: Формула корней, теорема Виета
Зачем этот урок: ОГЭ №21 (текстовые задачи на движение и работу)
Дальше: Рациональные уравнения и задачи на них

Квадратные уравнения · урок 5

От условия к уравнению и обратно к ответу

Как составить уравнение

Обозначить буквой то, что спрашивают (или то, через что удобно выразить остальное).
Выразить через неё все остальные величины из условия: «на 15 больше» — $x + 15$ , «время» — расстояние на скорость.
Найти в условии одно равенство, которое ещё не использовано, — это и есть уравнение.
Решить уравнение.
Вернуться к условию: скорость, число деталей, длина не бывают отрицательными, число людей — дробным. Лишний корень отбрасываем и пишем почему.

Никольский, № 281Пример 1

Произведение двух последовательных натуральных чисел равно

110

. Найдите эти числа.

Меньшее число — $x$ , следующее — $x + 1$ . Уравнение: $x(x + 1) = 110$ , то есть $x^2 + x - 110 = 0$ .
По Виету: произведение $-110$ , сумма $-1$ — подходят $10$ и $-11$ . ( $D = 1 + 440 = 441 = 21^2$ , $x = \dfrac{-1 \pm 21}{2}$ .)
Число натуральное, поэтому $x = -11$ не подходит. $x = 10$ , второе число $11$ .

Ответ: $10$ и $11$

Никольский, № 287Пример 2

Высота прямоугольника составляет

75\%

его основания. Найдите периметр этого прямоугольника, если его площадь равна

48\ \text{м}^2

Основание — $x$ м, высота — $0{,}75x$ м. Площадь: $x\cdot 0{,}75x = 48$ .
$0{,}75x^2 = 48$ , $x^2 = 64$ , $x = 8$ (длина положительна, $x = -8$ не подходит).
Высота $0{,}75\cdot 8 = 6$ м, периметр $2\cdot(8 + 6) = 28$ м.

Ответ: $28$ м

ОГЭ, задание 21Пример 3

Два велосипедиста одновременно отправляются в 100-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 15 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Скорость второго — $x$ км/ч, первого — $x + 15$ км/ч. Время: $\dfrac{100}{x}$ и $\dfrac{100}{x + 15}$ ч.
Второй едет на 6 часов дольше: $\dfrac{100}{x} - \dfrac{100}{x + 15} = 6$ .
Умножаем на $x(x + 15)$ ( $x > 0$ ): $100(x + 15) - 100x = 6x(x + 15)$ , то есть $1500 = 6x^2 + 90x$ , или $x^2 + 15x - 250 = 0$ .
$D = 225 + 1000 = 1225 = 35^2$ , $x = \dfrac{-15 \pm 35}{2}$ : $x = 10$ или $x = -25$ . Скорость положительна — $10$ км/ч.

Ответ: $10$ км/ч

ОГЭ, задание 21Пример 4

Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Второй делает $x$ деталей в час, первый — $x + 10$ . Время на заказ: $\dfrac{60}{x}$ и $\dfrac{60}{x + 10}$ ч.
$\dfrac{60}{x} - \dfrac{60}{x + 10} = 3$ . Умножаем на $x(x + 10)$ : $600 = 3x(x + 10)$ , то есть $x^2 + 10x - 200 = 0$ .
По Виету: произведение $-200$ , сумма $-10$ — подходят $10$ и $-20$ . Число деталей положительно: $x = 10$ .

Ответ: 10

Главное

Обозначаем неизвестное, выражаем через него остальное, ищем одно равенство из условия.
«Время = расстояние : скорость», «время = работа : производительность» — так появляются дроби, и уравнение сводится к квадратному.
Оба корня проверяем по смыслу задачи: отрицательная скорость или дробное число людей — не ответ.

Задачи на квадратные уравнения

Все уроки станции «Квадратные уравнения»