Аксиомы стереометрии

• А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Четыре точки могут и не лежать в одной плоскости — стул с неровными ножками стоит на трёх.
• А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Поэтому прямая, не лежащая в плоскости, имеет с ней не больше одной общей точки — пересекает её.
• А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки — плоскости пересекаются по прямой.
• В каждой плоскости пространства верны все аксиомы и теоремы планиметрии; признаки равенства и подобия треугольников верны и для треугольников в разных плоскостях.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Отметим на прямой $a$ точки $P$ и $Q$. Точки $M, P, Q$ не лежат на одной прямой — по А1 через них проходит плоскость $\alpha$. Две точки прямой $a$ лежат в $\alpha$, по А2 и вся $a$ лежит в $\alpha$. Любая плоскость через $a$ и $M$ проходит через $M, P, Q$ и по А1 совпадает с $\alpha$.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. $a$ и $b$ пересекаются в $M$; возьмём на $b$ точку $N \ne M$ и плоскость $\alpha$ через $a$ и $N$ (теорема 1). Точки $M$ и $N$ прямой $b$ лежат в $\alpha$ — по А2 и $b$ в ней. Любая плоскость через $a$ и $b$ содержит $N$, поэтому совпадает с $\alpha$.

• Тремя точками, не лежащими на одной прямой (А1) — плоскость $ABC$.
• Прямой и не лежащей на ней точкой (теорема 1).
• Двумя пересекающимися прямыми (теорема 2).
• Двумя параллельными прямыми — по определению параллельных прямых в пространстве (следующий урок).
• Чем это полезно в задачах: чтобы доказать, что точки или прямые лежат в одной плоскости, находят плоскость по одному из этих способов и пользуются А2; чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, ищут две их общие точки (А3).

1. а) Три точки всегда лежат в одной плоскости: не на одной прямой — по А1, на одной прямой — в любой плоскости через эту прямую. Верно.
2. Четыре точки — не всегда (вершины тетраэдра). Неверно. «Только одна» — неверно, если три точки на одной прямой: плоскостей бесконечно много.
3. б) Если бы $A, B, C$ лежали на прямой, то через эту прямую и $D$ прошла бы плоскость (теорема 1) — все четыре точки в ней. Противоречие, не могут.
4. Если бы $AB$ и $CD$ пересекались, через них прошла бы плоскость (теорема 2) со всеми четырьмя точками. Не могут.

1. а) Две точки — нет: окружность может пересекать плоскость в двух точках.
2. Три точки окружности не лежат на одной прямой, через них проходит единственная плоскость (А1). Плоскость окружности тоже проходит через них — это та же плоскость. Верно.
3. б) Пусть $A, B, O \in \alpha$. Точка $C$ лежит на прямой $AO$, у которой две точки в $\alpha$ — по А2 $C \in \alpha$. Так же $D$ лежит на прямой $BO$, значит, $D \in \alpha$.

1. а) Общая точка по А3 даёт целую общую прямую — поэтому одной или двух общих точек быть не может. Только одна общая прямая — да, так пересекаются плоскости.
2. б) Если все три прямые лежат в одной плоскости, то любые две из них задают эту же плоскость — одна плоскость.
3. Если не лежат, каждая пара пересекающихся прямых задаёт свою плоскость — три плоскости (как три грани угла коробки).

• А1: три точки не на одной прямой — единственная плоскость. А2: две точки прямой в плоскости — вся прямая в плоскости. А3: общая точка двух плоскостей — общая прямая.
• Плоскость задают: три точки, прямая и точка, две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые.
• Линия пересечения плоскостей строится по двум общим точкам.
• Невидимые линии на чертеже — штриховые.