Тетраэдр и параллелепипед. Сечения

• Многоугольник в пространстве — плоская поверхность: замкнутая ломаная вместе с частью плоскости внутри неё.
• Возьмём треугольник $ABC$ и точку $D$ вне его плоскости и соединим $D$ с вершинами. Поверхность из четырёх треугольников $ABC, DAB, DBC, DCA$ — тетраэдр $DABC$.
• Треугольники — грани, их стороны — рёбра, вершины — вершины тетраэдра: $4$ грани, $6$ рёбер, $4$ вершины.
• Рёбра без общих вершин — противоположные: $AD$ и $BC$, $BD$ и $AC$, $CD$ и $AB$. Часто одну грань называют основанием, три другие — боковыми.

• Два равных параллелограмма $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ в параллельных плоскостях, $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$. Боковые четырёхугольники $ABB_1A_1, \ldots$ — тоже параллелограммы. Поверхность из шести параллелограммов — параллелепипед.
• $6$ граней, $12$ рёбер, $8$ вершин. Грани с общим ребром — смежные, без общих рёбер — противоположные.
• Вершины, не лежащие в одной грани, — противоположные; отрезок между ними — диагональ. Диагоналей четыре: $AC_1, BD_1, CA_1, DB_1$.
• 1°. Противоположные грани параллельны и равны: например, $AB \parallel DC$ и $AA_1 \parallel DD_1$ — признак параллельности плоскостей; стороны и угол между ними у граней равны.
• 2°. Диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам: $A_1D_1CB$ — параллелограмм ($A_1D_1 \parallel BC$, $A_1D_1 = BC$), так же $AD_1C_1B$ и $A_1B_1CD$.

Задача 1. На рёбрах $AB$, $BD$ и $CD$ тетраэдра отмечены точки $M, N, P$. Построить сечение плоскостью $MNP$.

Решение. Найдём прямую, по которой плоскость $MNP$ пересекает плоскость $ABC$. Одна общая точка — $M$. Вторая: прямые $NP$ и $BC$ лежат в плоскости $BCD$ — продолжим их до пересечения в точке $E$.

Плоскости $MNP$ и $ABC$ пересекаются по прямой $ME$; она пересекает ребро $AC$ в точке $Q$. Четырёхугольник $MNPQ$ — искомое сечение.

Если $NP \parallel BC$, то $NP \parallel ABC$ и сечение пересекает грань $ABC$ по прямой $MQ \parallel NP$.

Задача 2. Сечение плоскостью через точку $M$ грани $ADB$ параллельно основанию $ABC$: через $M$ проводим прямую $\parallel AB$ до $DA$ и $DB$ (точки $P$, $Q$), через $P$ — прямую $\parallel AC$ до $DC$ (точка $R$); $PQR$ — сечение.

• Задача 3. Точки $A, B, C$ на рёбрах параллелепипеда; построить сечение плоскостью $ABC$.
• Точки на рёбрах из одной вершины — сечение треугольник $ABC$.
• Если две точки лежат в одной грани, а третья — в противоположной, через третью проводим прямую, параллельную отрезку в первой грани, — получаем пятиугольник.
• Общий случай: продолжаем $AB$ и нижнее ребро той же грани до пересечения в $M$ — это точка следа на плоскости основания; через $M$ проводим прямую $\parallel BC$, она отсекает на нижнем основании точки $E$, $F$; дальше — параллельные отрезки в противоположных гранях. Получается шестиугольник.
• На рисунке сечение куба плоскостью через середины шести рёбер — правильный шестиугольник; его противоположные стороны параллельны.

1. $MN$ — средняя линия $\triangle ABC$: $MN \parallel AC$, $MN = 5$. $NP$ — средняя линия $\triangle BCD$: $NP \parallel BD$, $NP = 6$.
2. $AC \parallel MN$ — значит, $AC \parallel MNP$, и плоскость $MNP$ пересекает грань $ACD$ по прямой $PK \parallel AC$ (свойство 1°). Прямая через середину $CD$, параллельная $AC$, проходит через середину $AD$ — это и есть $K$.
3. $MNPK$: $MN = PK = 5$, $NP = MK = 6$ — параллелограмм. Периметр $2(5 + 6) = 22$ см.

1. а) Грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ противоположны, поэтому сечение пересекает их по параллельным отрезкам: в грани $DCC_1D_1$ проводим $EF \parallel A_1B$. Но $A_1B \parallel D_1C$ ($A_1BCD_1$ — параллелограмм), значит, $EF \parallel D_1C$ — средняя линия $\triangle CC_1D_1$, и $F$ — середина $C_1D_1$.
2. Сечение $A_1BEF$: $A_1B \parallel EF$, $A_1B = 2\sqrt2$, $EF = \sqrt2$ — основания разные, это трапеция. Боковые стороны $BE = A_1F = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt5$ — равнобокая.
3. б) Высота: $h^2 = 5 - \left(\dfrac{2\sqrt2 - \sqrt2}{2}\right)^2 = 5 - \dfrac12 = \dfrac92$, $h = \dfrac{3}{\sqrt2}$.
4. $S = \dfrac{2\sqrt2 + \sqrt2}{2} \cdot \dfrac{3}{\sqrt2} = \dfrac{3\sqrt2}{2} \cdot \dfrac{3}{\sqrt2} = 4{,}5$.