Перпендикуляр и наклонные. Угол с плоскостью

• $AH \perp \alpha$: $AH$ — перпендикуляр, $H$ — его основание. $AM$ ($M \in \alpha$, $M \ne H$) — наклонная, $HM$ — её проекция на плоскость.
• В прямоугольном $\triangle AMH$ $AH$ — катет, $AM$ — гипотенуза: перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.
• Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра. Высота фонаря — расстояние до плоскости земли.
• Все точки одной из параллельных плоскостей равноудалены от другой — это расстояние между параллельными плоскостями (высота комнаты). Так же определяют расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми — расстояние от одной из них до плоскости, проходящей через другую параллельно первой.

Доказательство. $a \perp HM$ по условию, $a \perp AH$, так как $AH \perp \alpha$. Значит, $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $AMH$ и по признаку перпендикулярна этой плоскости — в частности, $a \perp AM$.

Три перпендикуляра — $AH$, $HM$ и $AM$ к прямой $a$.

Обратная теорема. Прямая в плоскости, проведённая через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции (№ 153: $a \perp AM$, $a \perp AH$ — $a \perp AMH$, $a \perp HM$).

В задачах так находят расстояние от точки вне плоскости до прямой в плоскости: опускаем перпендикуляр на плоскость, из его основания — перпендикуляр на прямую; отрезок от данной точки до основания второго перпендикуляра — нужное расстояние.

1. а) В прямоугольном $\triangle AOB$: $AB = \dfrac{AO}{\cos 60^\circ} = 3$. $\triangle ABC$ равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине — равносторонний: $BC = 3$ см.
2. б) Равные наклонные имеют равные проекции: $OA = OB = OC$, значит, проекция $O$ — центр описанной окружности, $OA = R = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3$.
3. $MO = \sqrt{16 - 12} = 2$ см.

1. $DD_1 \perp ABCD$, поэтому $BD$ — проекция $BD_1$ на основание, а $\angle DBD_1$ — угол между диагональю и плоскостью основания.
2. $BD = \sqrt{16 + 9} = 5$, $DD_1 = 5$. Прямоугольный $\triangle BDD_1$ равнобедренный — угол $45^\circ$.