Геометрия · 10 класс · урок 6 из 6 · Атанасян, «Геометрия 10–11», гл. I–II, гл. II § 3

Двугранный угол. Перпендикулярные плоскости

Выход к заданиям: ЕГЭ №15

Сначала нужно знать: Перпендикуляр и наклонные. Угол с плоскостью
Зачем этот урок: ЕГЭ №3 и №15: угол между плоскостями, диагональ прямоугольного параллелепипеда
Дальше: Призма

Прямые и плоскости в пространстве · урок 6

Линейный угол, признак перпендикулярности плоскостей, прямоугольный параллелепипед

Двугранный угол

Перегнём плоскость по прямой $a$ — получим двугранный угол: фигуру из прямой $a$ и двух полуплоскостей с общей границей $a$ , не лежащих в одной плоскости. Полуплоскости — грани, прямая — ребро. Двускатная крыша, полураскрытая папка.
Линейный угол: из точки $O$ ребра в каждой грани проводим луч, перпендикулярный ребру. Его плоскость перпендикулярна ребру.
Все линейные углы двугранного угла равны: лучи $OA$ и $O_1A_1$ , $OB$ и $O_1B_1$ сонаправлены.
Градусная мера двугранного угла — мера линейного угла. Двугранный угол прямой, острый, тупой — по линейному.

Перпендикулярные плоскости

Пересекающиеся плоскости дают четыре двугранных угла: $\varphi$ , $180^\circ - \varphi$ , $\varphi$ , $180^\circ - \varphi$ . Угол между плоскостями — наименьший из них: $0^\circ < \varphi \le 90^\circ$ . При $90^\circ$ плоскости перпендикулярны (стена и пол).

Доказательство признака. $AB \perp \beta$ , $\alpha \supset AB$ , $\alpha \cap \beta = AC$ . $AB \perp AC$ . В $\beta$ проведём $AD \perp AC$ : $\angle BAD$ — линейный угол, и он прямой, так как $AB \perp \beta$ .

Следствие. Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна каждой из них.

Прямая плоскости $\alpha$ , перпендикулярная линии пересечения перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна другой плоскости (№ 178).

Признак. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед прямоугольный, если боковые рёбра перпендикулярны основанию, а основания — прямоугольники. 1°. Все шесть граней — прямоугольники. 2°. Все двугранные углы прямые.

Длины трёх рёбер из одной вершины — измерения (длина, ширина, высота).

Теорема. Квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений. Доказательство: $CC_1 \perp ABCD$ , поэтому $\angle ACC_1 = 90^\circ$ : $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2$ .

Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Куб — все три измерения равны, диагональ $a\sqrt3$ .

d^2 = a^2 + b^2 + c^2

Трёхгранный и многогранный углы

Три луча $OA, OB, OC$ не в одной плоскости и углы $AOB, BOC, COA$ с внутренними областями — трёхгранный угол; углы — его плоские углы.
Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других.
Многогранный угол $OA_1A_2\ldots A_n$ — из плоских углов $A_1OA_2, \ldots, A_nOA_1$ . Выпуклый — лежит по одну сторону от плоскости каждого плоского угла.
Теорема. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше $360^\circ$ . Поэтому, например, в одной вершине многогранника не могут сходиться шесть правильных треугольников.

Атанасян, № 168, 172Пример 1

а) Двугранный угол равен

\varphi

; точка на одной грани удалена от плоскости другой грани на

d

. Найдите расстояние от точки до ребра. б) Катет

AC

прямоугольного треугольника

ABC

(

\angle C = 90^\circ

) лежит в плоскости

\alpha

, угол между

\alpha

и плоскостью

ABC

равен

60^\circ

;

AC = 5

см,

AB = 13

см. Найдите расстояние от

B

до

\alpha

а) Пусть $M$ — точка, $H$ — проекция на другую грань, $K$ — основание перпендикуляра к ребру. По теореме о трёх перпендикулярах $\angle MKH$ — линейный угол: $MK = \dfrac{d}{\sin\varphi}$ .
б) $BC = \sqrt{169 - 25} = 12$ , $BC \perp AC$ ; $BH \perp \alpha$ , по теореме о трёх перпендикулярах $CH \perp AC$ , $\angle BCH = 60^\circ$ — линейный угол.
$BH = BC \sin 60^\circ = 12 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ см.

Ответ: а) $\dfrac{d}{\sin\varphi}$ ; б) $6\sqrt3$ см

Атанасян, № 175Пример 2

Все рёбра тетраэдра равны. Докажите, что все его двугранные углы равны, и найдите их.

Двугранный угол при ребре $AC$ : $M$ — середина $AC$ ; медианы $DM$ и $BM$ равносторонних граней перпендикулярны $AC$ , $\angle DMB$ — линейный угол.
Ребро $a$ : $DM = BM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ , $DB = a$ . По теореме косинусов $\cos\angle DMB = \dfrac{\frac34 a^2 + \frac34 a^2 - a^2}{2 \cdot \frac34 a^2} = \dfrac13$ .
Для любого ребра расчёт тот же — все двугранные углы равны $\arccos\dfrac13 \approx 70{,}5^\circ$ .

Ответ: $\arccos\dfrac13 \approx 70{,}5^\circ$

Атанасян, № 187, 192Пример 3

а) Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями

1, 1, 2

;

8, 9, 12

. б) Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью грани.

а) $\sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt6$ ; $\ \sqrt{64 + 81 + 144} = \sqrt{289} = 17$ .
б) Ребро $a$ ; проекция диагонали $AC_1$ на основание — диагональ грани $AC = a\sqrt2$ , перпендикуляр $CC_1 = a$ .
$\mathrm{tg}\,\varphi = \dfrac{a}{a\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ .

Ответ: а) $\sqrt6$ ; $17$ ; б) $\dfrac{\sqrt2}{2}$

ЕГЭ, задание 3Пример 4

В прямоугольном параллелепипеде

ABCDA_1B_1C_1D_1

известно, что

DD_1 = 1

CD = 2

AD = 2

. Найдите длину диагонали

CA_1

Квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений: $CA_1^2 = 2^2 + 2^2 + 1^2 = 9$ .
$CA_1 = 3$ .

Ответ: 3

Главное

Двугранный угол измеряется линейным: лучи в гранях из одной точки ребра перпендикулярно ребру.
Плоскость, проходящая через перпендикуляр к другой плоскости, перпендикулярна ей.
Угол между плоскостями чаще всего строят через теорему о трёх перпендикулярах.
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$ ; у куба $d = a\sqrt3$ .

Двугранный угол. Перпендикулярные плоскости

Все уроки станции «Прямые и плоскости в пространстве»