Параллельность прямых и плоскостей

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство. Через прямую $a$ и точку $M$ проходит единственная плоскость $\alpha$. Прямая через $M$, параллельная $a$, лежит с ними в одной плоскости, то есть в $\alpha$. А в $\alpha$ по аксиоме параллельных такая прямая $b$ единственна.

Отрезки (лучи) параллельны, если лежат на параллельных прямых.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

Доказательство. $a \parallel b$ лежат в плоскости $\beta$, $a$ пересекает $\alpha$ в точке $M$. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$ — по А3 пересекаются по прямой $p$. В плоскости $\beta$ прямая $p$ пересекает $a$, значит, пересекает и параллельную ей $b$ в точке $N \in \alpha$. Других общих точек нет: иначе $b$ лежала бы в $\alpha$ и совпала бы с $p$.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство. $a \parallel c$, $b \parallel c$. Возьмём $K \in b$ и плоскость $\alpha$ через $a$ и $K$. Если бы $b$ пересекала $\alpha$, то по лемме пересекала бы её и $c$, а за ней и $a$ — но $a$ лежит в $\alpha$. Значит, $b$ лежит в $\alpha$. Пересечься $a$ и $b$ не могут: через точку прошли бы две прямые, параллельные $c$.

Прямая и плоскость: прямая лежит в плоскости, пересекает её (одна общая точка) или параллельна ей.

Признак. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости. Доказательство: иначе $a$ пересекала бы $\alpha$, а по лемме и $b \subset \alpha$ — противоречие.

1°. Если плоскость $\beta$ проходит через прямую $a \parallel \alpha$ и пересекает $\alpha$ по прямой $b$, то $b \parallel a$: они лежат в $\beta$ и не пересекаются.

2°. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая либо параллельна ей, либо лежит в ней.

Признак. Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются. Доказательство: плоскость через $AB$ и $CD$ проходила бы через $AB$ и $C$, то есть совпала бы с $\alpha$ — но $CD$ не лежит в $\alpha$.

Две прямые в пространстве либо пересекаются, либо параллельны, либо скрещиваются.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой, и притом только одна. Строим: через $A$ проводим $AE \parallel CD$; плоскость $ABE$ параллельна $CD$ по признаку. Любая другая плоскость через $AB$ пересечёт $AE$, а значит, и $CD$.

Признак. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Доказательство. По признаку параллельности прямой и плоскости $a \parallel \beta$ и $b \parallel \beta$. Если бы $\alpha$ и $\beta$ пересекались по прямой $c$, то по свойству 1° $a \parallel c$ и $b \parallel c$ — через $M$ прошли бы две прямые, параллельные $c$. Противоречие.

Через точку вне плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной (№ 59).

• 1°. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны: $a$ и $b$ лежат в $\gamma$ и не пересекаются (иначе у $\alpha$ и $\beta$ была бы общая точка). Пример — линии пересечения пола и потолка со стеной.
• 2°. Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны: плоскость $\gamma$ через $AB \parallel CD$ пересекает $\alpha$ и $\beta$ по параллельным $AC$ и $BD$, значит, $ABDC$ — параллелограмм и $AB = CD$.
• В сечениях многогранников это главный инструмент: противоположные грани параллелепипеда секущая плоскость пересекает по параллельным отрезкам.

1. а) $MN$ — средняя линия $\triangle DBC$: $MN = \dfrac{BC}2 = 7$; так же $PQ = 7$ (в $\triangle ABC$), $MP = NQ = \dfrac{AD}2 = 6$ (в $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$).
2. Периметр $7 + 7 + 6 + 6 = 26$ см.
3. б) Параллельные $BB_1$ и $CC_1$ задают плоскость; в ней лежат $A$, $B_1$, $C_1$ (точки $B_1, C_1, A$ — на прямой пересечения этой плоскости с данной). $\triangle ACC_1 \sim \triangle ABB_1$: $CC_1 = BB_1 \cdot \dfrac{AC}{AB} = 20 \cdot \dfrac35 = 12$ см.

1. $CD$ и $A_1C_1$ скрещиваются. $CD \parallel C_1D_1$, поэтому искомый угол равен углу $A_1C_1D_1$.
2. $A_1B_1C_1D_1$ — прямоугольник $8 \times 6$, $A_1C_1 = \sqrt{64 + 36} = 10$.
3. В прямоугольном $\triangle A_1D_1C_1$: $\sin \angle A_1C_1D_1 = \dfrac{A_1D_1}{A_1C_1} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$. Ребро $AA_1$ здесь не нужно.