Перпендикулярность прямой и плоскости

• Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними $90^\circ$: $a \perp b$. Перпендикулярные прямые могут пересекаться, а могут скрещиваться.
• Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна ей.
• Доказательство. $a \parallel b$, $a \perp c$. Через точку $M$ проведём $MA \parallel a$, $MC \parallel c$; $\angle AMC = 90^\circ$. Но $b \parallel MA$, поэтому угол между $b$ и $c$ — тоже угол $AMC$, то есть $90^\circ$.

Такая прямая пересекает плоскость: если бы она лежала в ней или была параллельна ей, в плоскости нашлись бы параллельные ей прямые. Примеры — столб, колонна, линия пересечения двух стен.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая перпендикулярна к ней. Доказательство: для любой прямой $x \subset \alpha$ $a \perp x$, по лемме $a_1 \perp x$.

Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Идея: через точку $M \in b$ проведём $b_1 \parallel a$; $b_1 \perp \alpha$. Если $b_1 \ne b$, то в плоскости $b, b_1$ через $M$ прошли бы два перпендикуляра к одной прямой.

Доказательство. $a \perp p$, $a \perp q$, $p \cap q = O$. Пусть сначала $a$ проходит через $O$; $m$ — любая прямая плоскости, $l \parallel m$ через $O$. Отметим $A, B \in a$ с серединой $O$ и проведём в $\alpha$ прямую, пересекающую $p, q, l$ в $P, Q, L$.

$p$ и $q$ — серединные перпендикуляры к $AB$: $AP = BP$, $AQ = BQ$, $\triangle APQ = \triangle BPQ$ по трём сторонам, $\angle APQ = \angle BPQ$.

$\triangle APL = \triangle BPL$ по двум сторонам и углу: $AL = BL$. Треугольник $ABL$ равнобедренный, медиана $LO$ — высота: $l \perp a$, а значит, и $m \perp a$.

Если $a$ не проходит через $O$, проведём через $O$ прямую $a_1 \parallel a$: по лемме $a_1 \perp p, q$, по доказанному $a_1 \perp \alpha$, тогда и $a \perp \alpha$.

1. а) $OK \perp$ плоскости, поэтому $OK \perp OA$: $\triangle KOA$ прямоугольный. $OA = \dfrac{a\sqrt2}{2}$ — половина диагонали.
2. $KA = KB = KC = KD = \sqrt{b^2 + \dfrac{a^2}{2}}$.
3. б) $AB = 10$, медиана к гипотенузе $CM = 5$. $CK \perp CM$, $KM = \sqrt{144 + 25} = 13$ см.