Арксинус, арккосинус, арктангенс

До сих пор задача была прямой: дан угол — найти синус. Теперь обратная: дан синус — найти угол.

Если $\sin\alpha = \dfrac12$, угол знаком по таблице: $\dfrac{\pi}{6}$. А если $\sin\alpha = \dfrac13$? Такой угол есть — на окружности есть точки с ординатой $\dfrac13$, — но в таблице его нет.

Для таких углов ввели обозначение с приставкой арк- (от латинского arcus — дуга). Запись $\arcsin\dfrac13$ читается «арксинус одной трети» и означает «угол, синус которого равен $\dfrac13$».

Прямая $y = \dfrac13$ пересекает окружность в двух точках, и к каждой ведёт бесконечно много углов: добавляем полные обороты. Какой из них назвать арксинусом?

Договорились брать угол с правой половины окружности — от $-\dfrac{\pi}{2}$ до $\dfrac{\pi}{2}$ (на рисунке выделена). На ней каждое значение синуса от $-1$ до $1$ встречается ровно один раз.

На рисунке это угол $\alpha_1$. Угол $\alpha_2$ тоже имеет синус $\dfrac13$, но он лежит на левой половине.

Арксинус числа $a$ — угол из отрезка $\left[-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $a$.

Существует только при $-1 \le a \le 1$: синус больше $1$ по модулю не бывает. Запись $\arcsin 2$ смысла не имеет.

$\arcsin\dfrac12 = \dfrac{\pi}{6}$, $\arcsin 1 = \dfrac{\pi}{2}$, $\arcsin 0 = 0$, $\arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2}$.

По определению $\sin(\arcsin a) = a$ при любом $a$ от $-1$ до $1$.

Для косинуса правая половина не годится: точки $\alpha$ и $-\alpha$ на ней имеют одинаковую абсциссу. Берём верхнюю половину — углы от $0$ до $\pi$.

Арккосинус числа $a$ — угол из отрезка $[0;\,\pi]$, косинус которого равен $a$. Существует только при $-1 \le a \le 1$.

$\arccos\dfrac12 = \dfrac{\pi}{3}$, $\arccos 0 = \dfrac{\pi}{2}$, $\arccos 1 = 0$, $\arccos(-1) = \pi$.

Тангенс принимает любые значения, поэтому арктангенс есть у любого числа.

Арктангенс числа $a$ — угол из интервала $\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $a$. Концы не входят: при $\pm\dfrac{\pi}{2}$ тангенса нет.

Вертикальная прямая $x = 1$ на рисунке — ось тангенсов: прямая через центр и точку угла пересекает её на высоте, равной тангенсу угла.

$\operatorname{arctg}\,1 = \dfrac{\pi}{4}$, $\operatorname{arctg}\sqrt3 = \dfrac{\pi}{3}$, $\operatorname{arctg}\,0 = 0$.

• $\arcsin(-a) = -\arcsin a$ и $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}\,a$: правая половина окружности симметрична относительно оси $x$, угол просто меняет знак.
• $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$: верхняя половина симметрична относительно оси $y$. Например, $\arccos\left(-\dfrac12\right) = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$.
• Частая ошибка — написать $\arccos\left(-\dfrac12\right) = -\dfrac{\pi}{3}$. Арккосинус отрицательным не бывает: его значения от $0$ до $\pi$.