Уравнения и неравенства · 10 класс · урок 2 из 7 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 7–8 (арки), § 11, п. 11.1

Простейшие тригонометрические уравнения

Выход к заданиям: ЕГЭ №7, ЕГЭ №10, ЕГЭ №14

Сначала нужно знать: Арксинус, арккосинус, арктангенс; периодичность
Зачем этот урок: ЕГЭ №7; каждое уравнение ЕГЭ №14 сводится к простейшим
Дальше: Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой

Тригонометрические уравнения · урок 2

sin x = a, cos x = a, tg x = a

Что такое тригонометрическое уравнение

Уравнение — равенство с неизвестным. Решить его — найти все значения неизвестного, при которых равенство верно, или показать, что таких нет.

Тригонометрическое — неизвестное стоит под знаком синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Простейшие: $\sin x = a$ , $\cos x = a$ , $\operatorname{tg}\,x = a$ , где $a$ — число.

Главная особенность: из-за периодичности корней бесконечно много. Их записывают сериями: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ — это все числа $\dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{\pi}{6} \pm 2\pi$ , $\dfrac{\pi}{6} \pm 4\pi$ и так далее.

cos x = a

Ищем на окружности точки с абсциссой $a$ : проводим вертикальную прямую $x = a$ . При $-1 < a < 1$ она пересекает окружность в двух точках.

Верхняя точка — угол $\arccos a$ (по определению). Нижняя симметрична ей относительно оси $x$ — угол $-\arccos a$ .

Добавляем полные обороты:

\cos x = a \ \Rightarrow\ x = \pm\arccos a + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

sin x = a

Теперь нужны точки с ординатой $a$ — горизонтальная прямая $y = a$ .

Правая точка — $\arcsin a$ . Левая симметрична ей относительно оси $y$ : угол $\pi - \arcsin a$ .

x = \arcsin a + 2\pi k, \qquad x = \pi - \arcsin a + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

В учебнике две серии объединены:

x = (-1)^k\arcsin a + \pi k

. Для отбора корней в ЕГЭ №14 удобнее две отдельные серии.

tg x = a

Прямая через центр и точку $(1;\,a)$ на оси тангенсов пересекает окружность в двух противоположных точках: $\operatorname{arctg}\,a$ и $\operatorname{arctg}\,a + \pi$ .

Они отличаются на пол-оборота, поэтому обе входят в одну серию с шагом $\pi$ :

\operatorname{tg}\,x = a \ \Rightarrow\ x = \operatorname{arctg}\,a + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}

Решение есть при любом

a

Частные случаи — по окружности

Уравнение	Точки на окружности	Решение
$\sin x = 0$	$(1;\,0)$ и $(-1;\,0)$	$x = \pi k$
$\sin x = 1$	$(0;\,1)$	$x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$
$\sin x = -1$	$(0;\,-1)$	$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$
$\cos x = 0$	$(0;\,1)$ и $(0;\,-1)$	$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$
$\cos x = 1$	$(1;\,0)$	$x = 2\pi k$
$\cos x = -1$	$(-1;\,0)$	$x = \pi + 2\pi k$

Здесь точка одна или две противоположные. Две противоположные — шаг $\pi$ , одна — шаг $2\pi$ .

Если $|a| > 1$ , уравнения $\sin x = a$ и $\cos x = a$ корней не имеют.

Если под синусом не x, а выражение

В ЕГЭ №7 обычно встречается что-то вроде $\cos\dfrac{\pi(x - 7)}{3} = \dfrac12$ . Порядок такой:

Обозначаем всё, что под знаком функции, одной буквой: $t = \dfrac{\pi(x - 7)}{3}$ .
Решаем простейшее уравнение относительно $t$ .
Возвращаемся к $x$ : приравниваем выражение к найденному и выражаем $x$ . Шаг серии тоже делится и умножается вместе со всем остальным.
Перебираем $k$ и выбираем тот корень, который просят: наибольший отрицательный или наименьший положительный.

ЕГЭ, задание 7Пример 1

Найдите корни уравнения

\cos\dfrac{\pi(x - 7)}{3} = \dfrac12

. В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

$\arccos\dfrac12 = \dfrac{\pi}{3}$ , поэтому $\dfrac{\pi(x - 7)}{3} = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ .
Умножаем обе части на $\dfrac{3}{\pi}$ : $x - 7 = \pm 1 + 6k$ .
Две серии: $x = 8 + 6k$ и $x = 6 + 6k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .
Первая серия: $8$ , $2$ , $-4$ , … Вторая: $6$ , $0$ , $-6$ , … Отрицательные: $-4$ , $-6$ , $-10$ , …
Наибольший из отрицательных корней: $-4$ .

Ответ: −4

ЕГЭ, задание 7Пример 2

Решите уравнение

\sin\dfrac{\pi x}{3} = 0{,}5

. В ответе напишите наименьший положительный корень.

$\arcsin\dfrac12 = \dfrac{\pi}{6}$ : $\dfrac{\pi x}{3} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $\dfrac{\pi x}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$ .
Умножаем на $\dfrac{3}{\pi}$ : $x = \dfrac12 + 6k$ или $x = \dfrac52 + 6k$ .
Наименьшие положительные в сериях: $0{,}5$ и $2{,}5$ . Меньший — $0{,}5$ .

Ответ: 0,5

ЕГЭ, задание 7Пример 3

Решите уравнение

\operatorname{tg}\,\dfrac{\pi(x + 2)}{3} = -\sqrt3

. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

$\operatorname{arctg}(-\sqrt3) = -\operatorname{arctg}\sqrt3 = -\dfrac{\pi}{3}$ , поэтому $\dfrac{\pi(x + 2)}{3} = -\dfrac{\pi}{3} + \pi k$ .
Умножаем на $\dfrac{3}{\pi}$ : $x + 2 = -1 + 3k$ , то есть $x = -3 + 3k$ .
$k = 1$ даёт $0$ — не отрицательный. $k = 0$ даёт $-3$ .

Ответ: −3

Никольский, № 7.83Пример 4

Задайте формулами все углы

\alpha

, для каждого из которых

\sin\alpha = \dfrac56

$\dfrac56$ — не табличное значение, но лежит между $-1$ и $1$ , поэтому арксинус существует.
Правая точка окружности — $\arcsin\dfrac56$ , левая — $\pi - \arcsin\dfrac56$ . Добавляем обороты.

Ответ: $\alpha = \arcsin\dfrac56 + 2\pi n$ или $\alpha = \pi - \arcsin\dfrac56 + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$

ЕГЭ, задание 10Пример 5

Мяч бросили под углом

\alpha

к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле

t = \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}

. При каком значении угла

\alpha

(в градусах) время полёта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью

v_0 = 30

м/с? Считайте, что ускорение свободного падения

g = 10

м/с².

Подставляем: $3 = \dfrac{2\cdot 30\cdot\sin\alpha}{10} = 6\sin\alpha$ , откуда $\sin\alpha = \dfrac12$ .
Угол броска к земле — от $0^\circ$ до $90^\circ$ . На этом промежутке синус равен $\dfrac12$ только при $\alpha = 30^\circ$ .

Ответ: 30

Главное

$\cos x = a$ : $x = \pm\arccos a + 2\pi k$ .
$\sin x = a$ : $x = \arcsin a + 2\pi k$ и $x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$ .
$\operatorname{tg}\,x = a$ : $x = \operatorname{arctg}\,a + \pi k$ .
При $|a| > 1$ у синуса и косинуса корней нет; частные случаи $0$ , $\pm1$ — по окружности.
Сложный аргумент: решаем относительно него, потом выражаем $x$ .

Простейшие тригонометрические уравнения

Все уроки станции «Тригонометрические уравнения»