Однородные уравнения

Однородное уравнение первой степени: $a\sin x + b\cos x = 0$. Каждое слагаемое — синус или косинус в первой степени.

Второй степени: $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$. В каждом слагаемом сумма степеней синуса и косинуса равна $2$.

«Однородное» — значит, все слагаемые одной степени. Отдельных чисел нет, справа ноль.

Пусть в уравнении $a\sin x + b\cos x = 0$ (где $a \ne 0$) оказалось $\cos x = 0$. Тогда и $a\sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Но синус и косинус одновременно в ноль не обращаются: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Значит, у корней $\cos x \ne 0$, и на $\cos x$ делить можно — корни не теряются. Получаем $a\,\operatorname{tg}\,x + b = 0$.

Уравнение второй степени делим на $\cos^2 x$ и получаем квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg}\,x$.

Уравнение $6\sin^2 x + \sin 2x = 2$ не однородное: справа число. Но число можно записать через тождество: $2 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

$\sin 2x$ раскрываем как $2\sin x\cos x$. После переноса все слагаемые станут второй степени, и уравнение — однородным.

1. Однородное первой степени относительно $\sin 2x$ и $\cos 2x$. Если $\cos 2x = 0$, то и $\sin 2x = 0$ — так не бывает, поэтому делим на $\cos 2x$.
2. $\sqrt3\,\operatorname{tg}\,2x + 3 = 0$, $\operatorname{tg}\,2x = -\dfrac{3}{\sqrt3} = -\sqrt3$.
3. $2x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi k$, $x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

1. $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, $2 = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$.
2. $6\sin^2 x + 2\sin x\cos x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0$, то есть $4\sin^2 x + 2\sin x\cos x - 2\cos^2 x = 0$. Делим на $2$: $2\sin^2 x + \sin x\cos x - \cos^2 x = 0$.
3. При $\cos x = 0$ осталось бы $2\sin^2 x = 0$ — невозможно (синус тогда $\pm1$). Делим на $\cos^2 x$: $2\,\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg}\,x - 1 = 0$.
4. $t = \operatorname{tg}\,x$: $2t^2 + t - 1 = 0$, $t = \dfrac12$ или $t = -1$.
5. $x = \operatorname{arctg}\,\dfrac12 + \pi k$ или $x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

1. $\sin 2x = 2\sin x\cos x$: $2\sin^2 x - 2\sqrt3\sin x\cos x = 0$ — однородное второй степени (слагаемого с $\cos^2 x$ нет, это не мешает).
2. При $\cos x = 0$ получилось бы $2\sin^2 x = 0$ — невозможно. Делим на $\cos^2 x$: $2\,\operatorname{tg}^2 x - 2\sqrt3\,\operatorname{tg}\,x = 0$.
3. Выносим общий множитель: $2\,\operatorname{tg}\,x\,(\operatorname{tg}\,x - \sqrt3) = 0$.
4. $\operatorname{tg}\,x = 0$: $x = \pi k$. $\operatorname{tg}\,x = \sqrt3$: $x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

• Однородное: все слагаемые одной степени по синусу и косинусу, справа ноль.
• Проверяем, что $\cos x = 0$ не даёт корней, и делим на $\cos x$ или $\cos^2 x$ — получаем уравнение с тангенсом.
• Число справа превращаем в $a(\sin^2 x + \cos^2 x)$, $\sin 2x$ — в $2\sin x\cos x$.