Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой

Посмотрим на уравнение $6\cos^2 x - 7\cos x - 5 = 0$. Неизвестное $x$ везде стоит внутри одной и той же функции — $\cos x$.

Обозначим $\cos x = t$. Получится $6t^2 - 7t - 5 = 0$ — обычное квадратное уравнение относительно $t$.

Решаем его, а потом для каждого найденного $t$ — простейшее уравнение $\cos x = t$. Это и называется заменой неизвестного: новая буква на время заменяет целое выражение.

$t = \cos x$ или $t = \sin x$ — не любое число: оно обязано лежать на отрезке $[-1;\,1]$.

Поэтому корни квадратного уравнения проверяем: если получилось $t = \dfrac53$, отбрасываем — косинус таким не бывает.

При $t = \operatorname{tg}\,x$ ограничения нет: тангенс принимает любые значения. При $t = \cos^2 x$ ограничение $0 \le t \le 1$.

• Привести уравнение к одной функции одного аргумента. Если есть и $\sin^2 x$, и $\cos x$ — заменить $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ (основное тождество).
• Сделать замену $t = \sin x$ (или $\cos x$, $\operatorname{tg}\,x$).
• Решить уравнение относительно $t$ и отбросить $t$, которые функция принять не может.
• Для каждого оставшегося $t$ решить простейшее уравнение.
• Записать ответ — все полученные серии.

1. Замена $\cos x = t$, $-1 \le t \le 1$: $6t^2 - 7t - 5 = 0$.
2. $D = 49 + 4\cdot 6\cdot 5 = 169$, $t = \dfrac{7 \pm 13}{12}$: $t_1 = \dfrac{20}{12} = \dfrac53$, $t_2 = -\dfrac{6}{12} = -\dfrac12$.
3. $t_1 = \dfrac53 > 1$ — косинус таким не бывает, отбрасываем.
4. $\cos x = -\dfrac12$: $x = \pm\arccos\left(-\dfrac12\right) + 2\pi k = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

1. Здесь $\cos^2 x$ и $\sin x$ — разные функции. Заменяем квадрат косинуса: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
2. $6 - 6\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0$, то есть $6\sin^2 x + 5\sin x - 4 = 0$.
3. $t = \sin x$: $6t^2 + 5t - 4 = 0$, $D = 25 + 96 = 121$, $t = \dfrac{-5 \pm 11}{12}$: $t = \dfrac12$ или $t = -\dfrac43$.
4. $-\dfrac43 < -1$ — не подходит. $\sin x = \dfrac12$: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

1. Здесь удобна замена $t = \cos^2 x$, $0 \le t \le 1$: $4t^2 - 4t + 1 = 0$.
2. Это полный квадрат: $(2t - 1)^2 = 0$, $t = \dfrac12$.
3. $\cos^2 x = \dfrac12$, то есть $\cos x = \dfrac{\sqrt2}{2}$ или $\cos x = -\dfrac{\sqrt2}{2}$.
4. На окружности это четыре точки $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{3\pi}{4}$, $\dfrac{5\pi}{4}$, $\dfrac{7\pi}{4}$ — через каждые $\dfrac{\pi}{2}$. Их можно записать одной серией: $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

1. Замена $\operatorname{tg}\,x = t$, ограничений нет: $t^2 + 5t + 6 = 0$. По теореме Виета $t = -2$ или $t = -3$.
2. $\operatorname{tg}\,x = -2$: $x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi k = -\operatorname{arctg}\,2 + \pi k$.
3. $\operatorname{tg}\,x = -3$: $x = -\operatorname{arctg}\,3 + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
4. Значения не табличные — так и оставляем, через арктангенс.

• Если неизвестное входит только через одну функцию — заменяем её буквой $t$ и решаем алгебраическое уравнение.
• Для синуса и косинуса $-1 \le t \le 1$: лишние корни отбрасываем сразу.
• Разные функции приводим к одной через $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
• Возвращаемся к $x$ через простейшие уравнения и записываем все серии.