Отбор корней на отрезке

Пункт а) — решить уравнение, ответ — серии корней. Пункт б) — выписать конкретные корни, которые лежат на заданном отрезке.

Критерии (демоверсия ЕГЭ 2027): 2 балла — обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах; 1 балл — обоснованно получен верный ответ в пункте а), или ответы неверны из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов обоих пунктов.

«Обоснованно» в пункте б) — значит, показан способ отбора: окружность, двойное неравенство или перебор. Голый список чисел — не обоснование.

Корень серии $x = x_0 + 2\pi k$ лежит на отрезке $[a;\,b]$, если $a \le x_0 + 2\pi k \le b$.

Решаем двойное неравенство относительно $k$ и берём только целые $k$. Подставляем их в серию — получаем корни.

Способ надёжен, когда отрезок длиннее оборота или в ответе арктангенсы, которые неудобно отмечать на окружности.

Подставляем в серию $k = 0,\ \pm1,\ \pm2,\ \ldots$ и смотрим, какие значения попали на отрезок.

Чтобы сравнивать, приводим к общему знаменателю: $-\dfrac{7\pi}{2} = -\dfrac{21\pi}{6}$, $-\dfrac{19\pi}{6}$, $-\dfrac{5\pi}{2} = -\dfrac{15\pi}{6}$ — сразу видно, что $-\dfrac{19\pi}{6}$ между концами.

Останавливаемся, когда значения ушли за отрезок в обе стороны.

1. а) $x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (урок про замену).
2. б) Отрезок длиной $3\pi$ — больше оборота, отбираем перебором.
3. Серия $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k = 0$ получаем $\dfrac{2\pi}{3}$, подходит; при $k = 1$ получаем $\dfrac{8\pi}{3} > 2\pi$; при $k = -1$ получаем $-\dfrac{4\pi}{3} < -\pi$.
4. Серия $x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k = 0$ получаем $-\dfrac{2\pi}{3}$, подходит ($-\dfrac{2\pi}{3} > -\pi$); при $k = 1$ получаем $\dfrac{4\pi}{3}$, подходит; при $k = 2$ получаем $\dfrac{10\pi}{3} > 2\pi$; при $k = -1$ получаем $-\dfrac{8\pi}{3} < -\pi$.

1. а) $x = -\operatorname{arctg}\,2 + \pi k$; $x = -\operatorname{arctg}\,3 + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (урок про замену).
2. б) Оценим арктангенсы: $2 > 1$ и $3 > 1$, поэтому оба угла между $\dfrac{\pi}{4}$ и $\dfrac{\pi}{2}$ (тангенс растёт, $\operatorname{tg}\,\dfrac{\pi}{4} = 1$).
3. Первая серия. При $k = 0$ корень $-\operatorname{arctg}\,2$ лежит между $-\dfrac{\pi}{2}$ и $-\dfrac{\pi}{4}$, правее отрезка. При $k = -1$ корень $-\pi - \operatorname{arctg}\,2$ лежит между $-\dfrac{3\pi}{2}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}$: на отрезке. При $k = -2$ корень меньше $-2\pi$.
4. Вторая серия — так же: подходит только $k = -1$, корень $-\pi - \operatorname{arctg}\,3$.

• Отрезок не длиннее оборота — удобно отбирать по окружности: концы, дуга против часовой стрелки, точки серий.
• Длинный отрезок или арктангенсы — перебор $k$ или двойное неравенство.
• Значение корня на отрезке считаем от ближайшего конца.
• Отбор обязательно показываем: без обоснования второй балл не ставят.