Применение формул при решении уравнений

• Привести к одной функции одного аргумента, потом сделать замену. Инструменты: формулы приведения, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, формулы двойного угла.
• Разложить на множители: перенести всё в одну часть и вынести общий множитель. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
• Первым делом смотрим на аргументы: если есть $2x$ и $x$, переходим к одному аргументу $x$ через формулы двойного угла.
• Скобку вида $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right)$ сразу упрощаем по формулам приведения.

$\cos 2x$ записывается тремя способами. Берём тот, после которого останется одна функция:

• в уравнении есть ещё $\cos x$ → $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$;
• есть $\sin x$ → $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$;
• $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ — почти всегда ведёт к вынесению общего множителя.

В уравнении $\sin x\,(2\cos x + \sqrt3) = 0$ хочется поделить на $\sin x$. Но при $\sin x = 0$ делить нельзя, а именно эти $x$ — корни уравнения. Поделив, мы бы их потеряли.

Правильно — приравнять к нулю каждый множитель: $\sin x = 0$ или $2\cos x + \sqrt3 = 0$.

Делить можно только на то, что заведомо не равно нулю. Это проверяют отдельно — так будет в однородных уравнениях.

1. Формула приведения: в скобке $\dfrac{3\pi}{2}$ — синус меняется на косинус; при остром $x$ угол $\dfrac{3\pi}{2} + x$ в IV четверти, синус там минус. $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x$.
2. Квадрат синуса через косинус: $6(1 - \cos^2 x) - 15\cos x - 12 = 0$, то есть $-6\cos^2 x - 15\cos x - 6 = 0$.
3. Делим на $-3$: $2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0$. Замена $\cos x = t$: $2t^2 + 5t + 2 = 0$, $D = 25 - 16 = 9$, $t = \dfrac{-5 \pm 3}{4}$: $t = -\dfrac12$ или $t = -2$.
4. $t = -2$ не подходит. $\cos x = -\dfrac12$: $x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

1. Аргументы $2x$ и $x$; кроме $\cos 2x$ есть только косинус. Берём $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
2. $2\cos^2 x - 1 - 3\cos x + 2 = 0$, то есть $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$.
3. $t = \cos x$: $2t^2 - 3t + 1 = 0$, $t = 1$ или $t = \dfrac12$ (оба подходят).
4. $\cos x = 1$: $x = 2\pi k$. $\cos x = \dfrac12$: $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

1. $\sin 2x = 2\sin x\cos x$: $2\sin x\cos x + \sqrt3\sin x = 0$.
2. Выносим общий множитель: $\sin x\,(2\cos x + \sqrt3) = 0$.
3. $\sin x = 0$: $x = \pi k$.
4. $2\cos x + \sqrt3 = 0$: $\cos x = -\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right) = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$, поэтому $x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

• Сначала аргументы: $2x$ и $x$ сводим к $x$ формулами двойного угла.
• Скобки с $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$ упрощаем формулами приведения.
• Дальше либо одна функция и замена, либо общий множитель и «произведение равно нулю».
• На выражение с неизвестным не делим — теряем корни.