Уравнения и неравенства · 10 класс · урок 7 из 7 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 7–8 (арки), § 11, п. 11.5–11.7

Простейшие тригонометрические неравенства

Выход к заданиям: ЕГЭ №7, ЕГЭ №10, ЕГЭ №14

Сначала нужно знать: Простейшие уравнения, единичная окружность, функции синус, косинус, тангенс
Зачем этот урок: ЕГЭ №10 (прикладные задачи с синусом и косинусом); основа для неравенств ЕГЭ №16
Дальше: Неравенства, сводящиеся к простейшим; ЕГЭ №16

Тригонометрические уравнения · урок 7

Ответ — дуга окружности

От уравнения к неравенству

Уравнение $\sin x = \dfrac12$ на окружности — две точки. Неравенство $\sin x > \dfrac12$ — все точки, у которых ордината больше $\dfrac12$ : дуга над прямой $y = \dfrac12$ .

Поэтому решение неравенства на одном обороте — промежуток, а с учётом периода — серия промежутков.

Как записать дугу

Находим концы дуги — решаем уравнение $\sin x = \dfrac12$ : $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{5\pi}{6}$ .
Идём по дуге против часовой стрелки — в сторону возрастания угла — и записываем начало меньшим числом, конец большим: $\dfrac{\pi}{6} < x < \dfrac{5\pi}{6}$ .
Добавляем период: $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .
Знак строгий ( $>$ , $<$ ) — концы не входят, на рисунке они пустые; нестрогий ( $\ge$ , $\le$ ) — концы входят.

Когда дуга проходит через ноль

$\cos x > \dfrac12$ — точки правее прямой $x = \dfrac12$ . Дуга идёт от нижней точки к верхней через точку $0$ .

Нижнюю точку записываем как $-\dfrac{\pi}{3}$ , а не $\dfrac{5\pi}{3}$ : иначе начало окажется больше конца.

Ответ: $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Тангенс

На интервале $\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)$ тангенс возрастает, поэтому $\operatorname{tg}\,x > a$ при $\operatorname{arctg}\,a < x < \dfrac{\pi}{2}$ .

Период тангенса $\pi$ : $\operatorname{arctg}\,a + \pi k < x < \dfrac{\pi}{2} + \pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Правый конец $\dfrac{\pi}{2}$ не входит никогда — там тангенса нет. Для $\operatorname{tg}\,x < a$ : $-\dfrac{\pi}{2} + \pi k < x < \operatorname{arctg}\,a + \pi k$ .

Никольский, № 11.34, 11.36Пример 1

Решите неравенства: а)

\sin x > \dfrac12

; б)

\cos x < \dfrac12

а) Ордината больше $\dfrac12$ — дуга над прямой $y = \dfrac12$ от $\dfrac{\pi}{6}$ до $\dfrac{5\pi}{6}$ : $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$ .
б) Абсцисса меньше $\dfrac12$ — точки левее прямой $x = \dfrac12$ (на рисунке). Концы: $\arccos\dfrac12 = \dfrac{\pi}{3}$ и $2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}$ .
Идём от $\dfrac{\pi}{3}$ против часовой стрелки через $\pi$ до $\dfrac{5\pi}{3}$ : $\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \dfrac{5\pi}{3} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Ответ: а) $\left(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\right)$ ; б) $\left(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{3} + 2\pi k\right)$ , $k \in \mathbb{Z}$

Никольский, № 11.39Пример 2

Решите неравенство

\operatorname{tg}\,x > 1

$\operatorname{arctg}\,1 = \dfrac{\pi}{4}$ . На интервале $\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)$ тангенс растёт, поэтому больше $1$ он при $\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{\pi}{2}$ .
Период $\pi$ : $\dfrac{\pi}{4} + \pi k < x < \dfrac{\pi}{2} + \pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Ответ: $\left(\dfrac{\pi}{4} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{2} + \pi k\right)$ , $k \in \mathbb{Z}$

ЕГЭ, задание 10Пример 3

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону

v(t) = 5\sin\pi t

(см/с), где

t

— время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения была не менее

2{,}5

см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Нужно $5\sin\pi t \ge 2{,}5$ , то есть $\sin\pi t \ge \dfrac12$ , при $0 \le t \le 1$ .
Обозначим $u = \pi t$ . Пока $t$ идёт от $0$ до $1$ , угол $u$ проходит от $0$ до $\pi$ — верхнюю половину окружности.
$\sin u \ge \dfrac12$ на ней при $\dfrac{\pi}{6} \le u \le \dfrac{5\pi}{6}$ , то есть $\dfrac16 \le t \le \dfrac56$ .
Это промежуток длиной $\dfrac56 - \dfrac16 = \dfrac23$ секунды из одной. Доля $\dfrac23 \approx 0{,}67$ .

Ответ: 0,67

ЕГЭ, задание 10Пример 4

Небольшой мячик бросают под острым углом

\alpha

к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле

L = \dfrac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha

(м), где

v_0 = 20

м/с — начальная скорость мячика, а

g

— ускорение свободного падения (считайте

g = 10

м/с²). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

$L = \dfrac{400}{10}\sin 2\alpha = 40\sin 2\alpha$ . Нужно $40\sin 2\alpha \ge 20$ , то есть $\sin 2\alpha \ge \dfrac12$ .
Угол $\alpha$ острый, поэтому $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$ — верхняя половина окружности.
На ней $\sin 2\alpha \ge \dfrac12$ при $30^\circ \le 2\alpha \le 150^\circ$ , то есть $15^\circ \le \alpha \le 75^\circ$ .
Наименьший угол — $15^\circ$ .

Ответ: 15

Главное

Решение неравенства с синусом или косинусом — дуга окружности: над или под прямой $y = a$ , правее или левее прямой $x = a$ .
Дугу записываем против часовой стрелки, начало меньше конца; если дуга проходит через $0$ , начало берём отрицательным.
Добавляем период: $2\pi k$ для синуса и косинуса, $\pi k$ для тангенса.
В прикладных задачах угол ограничен условием (острый угол, первая секунда) — работаем только на этой части окружности.

Простейшие тригонометрические неравенства

Все уроки станции «Тригонометрические уравнения»